證明離散時間模型下歐元看漲期權價值與無風險利率正相關（二叉樹模型）
誰能告訴我如何證明歐式看漲期權價值與兩步二項式模型中的無風險利率具有正相關關係，其中執行價格為 K 並且每一步之間有不同的風險中性機率 q？我知道在連續模型中，rho(call) 是正的，這表明正相關，但我只熟悉方程，並不知道如何證明這一點。謝謝你。
假設下一步的價格是 $ u,d $ , 有機率 $ p,1-p $ . 貼現收益為 $ e^{-r}(p(u - K)^+ + (1-p)(d-K)^+) $ . 現在假設利率 $ r $ 增加 $ \Delta r $ . 那麼新的貼現收益將是 $ e^{-r - \Delta r}(p(e^{\Delta r}u - K)^+ + (1-p)(e^{\Delta r}d-K)^+) = e^{-r}(p(u - e^{-\Delta r}K)^+ + (1-p)(d-e^{-\Delta r}K)^+) $ .
自從 $ e^{-\Delta r}K < K $ ，新的貼現收益將大於原始收益。
我無法在電子表格上重現 @MainCom 的範例，因此我自己試了一下：
$$ \begin{align} C(r)&:=e^{-r\Delta t}\left(\frac{e^{r\Delta t}-D}{U-D}\left(U-K\right)^++\frac{U-e^{r\Delta t}}{U-D}\left(D-K\right)^+\right)\ \Rightarrow C(r+\rho)&=e^{-r\Delta t-\rho\Delta t}\left(\frac{e^{r\Delta t + \rho\Delta t}-D}{U-D}\left(U-K\right)^++\frac{U-e^{r\Delta t + \rho\Delta t}}{U-D}\left(D-K\right)^+\right)\ &=e^{-r\Delta t}\left(\frac{e^{r\Delta t}-De^{-\rho\Delta t}}{U-D}\left(U-K\right)^++\frac{Ue^{-\rho\Delta t}-e^{r\Delta t }}{U-D}\left(D-K\right)^+\right)\ \end{align} $$ 現在讓我們比較第一個機率項 $ p(r):=\frac{e^{r\Delta t}-D}{U-D} $ . 因為分母獨立於 $ r $ , 我們只是比較
$$ \left(e^{r\Delta t}-De^{-\rho \Delta t}\right) \quad -\quad \left( e^{r\Delta t}-D\right) $$ 顯然，這是 $ D(1-e^{-\rho\Delta t})>0 $ ，即這個術語正在增加（並且減少 $ 1-p $ ).