關於波動率表面的問題
作為一名學習者，我很想知道關於波動率表面的 2 個問題的答案
- 根據 Black-Scholes 模型，波動率表面應該是平坦的。這是為什麼？時間（相對於成熟度）是 BS 方程中的一個變數：
$$ {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0 $$
- 波動率面在實踐中如何發揮作用（模擬、建模、交易）？
讓我們退後一步看看隱含波動率 (IV) 到底是什麼。如果我們知道看漲期權的價格、利率（我們可以使用與期權到期日對應的即期利率），那麼隱含波動率就是在代入 Black-Scholes 公式時將導致期權價格的波動率水平看漲期權價值。如果我們將看漲期權的價格表示為波動率的函式（ $ c_t^{BS}(\sigma;….) $ ) 我們觀察期權的市場價格 $ c^{observed} $ 然後隱含波動率根據以下等式定義
$$ c^{observed} = c_t^{BS}(\sigma^{implied};…) $$
**現在回答你的問題：**其餘的都是微不足道的。BS 模型基於資產的幾何布朗運動 (GBM) 過程。無論何時到期或罷工，資產的波動性都是相同的。
問題 2我沒有專業經驗，所以可能會有更多內容，但這是 Alex C 評論的基本思想。
當觀察到（非線性）微笑時，我們知道市場不是根據 BS 定價的。請注意，隱含波動率很容易轉化為價格。
如果不是 BS/GBM 模型，我們將為資產使用另一個模型 $$ dS_t = \text{some brownian motion (maybe multiple) driven dynamics} $$ 表達式為 $ dS_t $ 當然會包括一些參數。
根據我們的新模型 $ S_t $ 我們可以根據 $$ c_t(k,S_t,T) = D(t,T)E_t^Q[(S_T-k)^+] $$ 其中 D 是折扣因子。為了估計資產模型的參數（ $ dS_t=… $ )，我們可以將觀察到的價格與我們的模型生成的價格相匹配。因此模型參數必須滿足 $$ D(t,T)E_t^Q[(S_T-k^)^+]=c_t^{BS}(\sigma^{implied},k^)=\text{observed prices} $$
在實踐中，更多的罷工和隱含波動率正在被使用，而等式不一定會嚴格成立。估計參數的一種方法是最小二乘誤差法。這個想法是使用更多的點並確定參數，以使平變異數之和最小化
$$ \min_{\text{model parameters}} \sum_i^n \left(D(t,T)E_t^Q[(S_T-k_i)^+]=c_t^{BS}(\sigma^{implied},k_i)\right)^2 $$
因此，我們將模型擬合到市場價格。當估計參數時，我們知道 $ S_t $ 我們可以用它來為其他衍生品定價 $ S $ 作為底層證券。