N個相關資產的隨機遊走
我正在嘗試評估 N 資產的期權，比如說 $ S^1, S^2,…, S^N $ 到期於 $ \Delta T $ 年使用蒙特卡羅模擬。我已經閱讀了許多資料表明我應該對每種資產使用以下公式：
$ S_T^i = S_0^i exp( (\mu_i - \sigma_i^2/2)\Delta T + \alpha_i\sigma_i\sqrt{\Delta T}) $
在哪裡：
- 這 $ i $ ’s 用於區分不同的資產。
- $ S_t^i $ 表示資產的價格 $ S^i $ 在時間 t。
- $ (\alpha_1,…,\alpha_N) $ 通過採用 Cholesky 分解得到 $ LL^* $ 的“相關矩陣”，然後將其應用於 N iid 標準正態隨機變數 $ (\epsilon_i,…,\epsilon_N) $ .
我的問題是：
- “相關矩陣”是否代表資產之間或資產收益之間的相關性？
- Cholesky 方法是否只是簡單地從具有均值的多元正態分佈中完成繪圖 $ (0,…,0) $ 我的第一個問題的答案的變異數-共變異數矩陣？
先感謝您。
相關矩陣是指資產收益之間的相關性。其實可以這樣看。每個資產都遵循幾何布朗運動，即
$$ \frac{{\rm d}S_t^i}{S_t^i}=\mu_i{\rm d}t+\sigma_i{\rm d}W_t^i, $$ 其中之間的相關性 $ W_t^i $ 和 $ W_t^j $ 應該是 $$ \text{Corr}\left(W_t^i,W_t^j\right)=\rho_{ij}. $$ 因此，相關矩陣是指資產收益之間的相關性。 Cholesky 分解有助於變換 $ N $ 獨立正態隨機變數 $ N $ 相關的正態隨機變數，與相關矩陣 $ \rho_{ij} $ 如上。這可以看如下。求解每個資產的 SDE，以及
$$ S_t^i=S_0^i\exp\left[\left(\mu_i-\frac{1}{2}\sigma_i^2\right)t+\sigma_iW_t^i\right]. $$ 因為我們只對樣本感興趣 $ S_T^i $ ，上式產生 $$ S_T^i=S_0^i\exp\left[\left(\mu_i-\frac{1}{2}\sigma_i^2\right)T+\sigma_iW_T^i\right]. $$ 這裡每 $ W_T^i\sim\mathcal{N}(0,T) $ . 相比之下，當所有 $ W_T^i $ 被視為一個整體，即 $ N $ 隨機變數，我們有 $$ \mathbf{W}\sim\mathcal{N}(\mathbf{0},T\Sigma), $$ 在哪裡 $ \left(i,j\right) $ - 方陣的第一項 $ \Sigma $ 讀 $$ \Sigma_{ij}=\rho_{ij}, $$ 因為組件 $ \mathbf{W} $ 是相關的。現在，假設我們有另一個向量 $ N $ 隨機變數，表示為 $ \mathbb{Z} $ , 緊隨其後 $$ \mathbf{Z}\sim\mathcal{N}(\mathbf{0},I_N), $$ 意思是組件的 $ \mathbf{Z} $ 獨立且同分佈為標準正態。這是我們可以用數字生成的。我們的目標是利用這個 $ \mathbf{Z} $ 要得到 $ \mathbf{W} $ . 這可以通過 $$ \sqrt{T}L\mathbf{Z}, $$ 在哪裡 $ L $ 滿足 $$ \Sigma=LL^{\top}. $$ 自從 $$ \sqrt{T}L\mathbf{Z}\sim\mathcal{N}(\mathbf{0},T\Sigma), $$ 它可以提供抽樣 $ \mathbf{W} $ .