簡單粗略波動率模型下的實現變異數
使用根據維納積分的分數布朗運動的 Mandelbrot-Vann Ness 表示，實現變異數的對數增量 $ v = \sigma^{2} $ , 在物理測量下 $ \mathcal{P} $ , 表示為
$$ \begin{equation} \begin{aligned} \log v_{u}-\log v_{t} &=2 \nu C_{H}\left(W_{u}^{H}-W_{t}^{H}\right) \ &=2 \nu C_{H}\left(\int_{-\infty}^{u}|u-s|^{H-\frac{1}{2}} d W_{s}^{\mathbb{P}}-\int_{-\infty}^{t}|t-s|^{H-\frac{1}{2}} d W_{s}^{\mathbb{P}}\right) \ &=2 \nu C_{H}\left(\int_{t}^{u}|u-s|^{H-\frac{1}{2}} d W_{s}^{\mathbb{P}}+\int_{-\infty}^{t}\left[|u-s|^{H-\frac{1}{2}}-|t-s|^{H-\frac{1}{2}}\right] d W_{s}^{\mathbb{P}}\right) \ &=: 2 \nu C_{H}\left[M_{t}(u)+Z_{t}(u)\right] \end{aligned} \end{equation} $$
和 $ H $ ，我們的 hurst 參數，它決定了分數布朗運動的粗糙度。在這個表達式中，左積分 $ M_{t}(u) $ 獨立於 $ \mathcal{F}{t} $ 和正確的積分 $ Z{t}(u) $ 是 $ \mathcal{F}_{t} $ - 可測量的。請注意 $ \tilde{W}^{P} $ 定義為：
$$ \begin{equation} \tilde{W}^{P}:=\sqrt{2 H} \int_{t}^{u} \frac{d W_{s}^{\mathbb{P}}}{(u-s)^{\gamma}} \end{equation} $$ 在這一步我不知道我們為什麼分開 $ \tilde{W}^{P} $ 從 $ C_{H} $ ，不應該是這個詞嗎 $ C_{H} $ 必須要有適當的分數布朗運動參數 $ H $ .此外，我不明白為什麼我們添加了一個 $ \sqrt{2H} $ 在表達式中。要繼續，據說 $ \tilde{W}^{P} $ 具有相同的屬性 $ M_{t}(u) $ , 只有變異數 $ (u − t)^{2H} $ . 和 $ \eta:=\frac{2\nu C_{H}}{\sqrt{2H}} $ 我們有 $ 2\nu M_{t}(u) C_{H}= \eta \tilde{W}^{P} $ 所以 ： $$ \begin{equation} \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[v_{u} \mid \mathcal{F}{t}\right]=v{t} \exp \left{2 \nu C_{H} Z_{t}(u)+\frac{1}{2} \eta^{2} \mathbb{E}\left|\tilde{W}{t}^{\mathbb{P}}(u)\right|^{2}\right} \end{equation} $$ 但是，我沒有清楚地理解這段話。是因為 $ Z{t}(u) $ 僅取決於歷史值，這使得我們在這裡不將其視為隨機變數是非馬爾可夫？之後，最後一步很容易推導出為： $$ \begin{equation} \begin{aligned} v_{u} &=v_{t} \exp \left{\eta \tilde{W}{t}^{\mathbb{P}}(u)+2 \nu C{H} Z_{t}(u)\right} \ &=\mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[v_{u} \mid \mathcal{F}{t}\right] \mathcal{E}\left(\eta \tilde{W}{t}^{\mathbb{P}}(u)\right) \end{aligned} \end{equation} $$
和 $ \mathcal{E} $ 作為 Wick 隨機積分，例如：
$$ \begin{equation} \mathcal{E}(\Psi)=\exp \left(\Psi-\frac{1}{2} \mathbb{E}\left[|\Psi|^{2}\right]\right) \end{equation} $$
最後我也不明白為什麼在粗略的波動率模型中我們有 $ \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[v_{u} \mid \mathcal{F}{t}\right] \neq \mathbb{E}^{\mathbb{P}}\left[v{u} \mid v_{t}\right] $ .
謝謝您的幫助。
我對 MSE 的回答詳細介紹了 $ \mathbb{E}(v_s , | , \mathcal{F}_t) $ 和 $ \mathbb{E}(v_s , | , \mathcal{v}_t) $ ，這回答了為什麼粗糙的 Bergomi 模型不是馬爾可夫模型。見這裡。
但是，在這篇文章中，您還有一個額外的問題：我們為什麼要撕掉 $ C_H $ 在我們的定義中 $ \tilde{W} $ ?
答案很簡單：它只是一個標準化常數。這會影響過程的變異數，但不會影響過程的粗糙度。特別是，Hölder 指數$$ \tilde{W}_t(u) = \sqrt{2H}\int_t^u \frac{dW_s}{(u-s)^\gamma} $$ 完全取決於選擇 $ \gamma $ 在冪律核心中 $ (u-s)^{-\gamma} $ . 要看到這一點，您可以應用 Kolmogorov 的連續性標準來得到 $ \tilde{W}_t(u) $ 承認為 $ (\frac{1}{2} - \gamma - \epsilon) $ -Hölder 連續路徑。由於我們設置 $ H = \frac{1}{2} - \gamma $ , 這等價於 $ (H-\epsilon) $ - 連續路徑，這是 fBM 的預期粗糙度。