通過無現金數字期權複製看漲期權
我被這個問題困住了：考慮一個兩資產模型，其中資產 0 是現金，因此資產 0 的價格是 $ B_t=1 $ 對全部 $ t \geq0 $ . 資產 1 的價格為 $ dS_t = a(S_t) dW_t $ , 其中給定函式 $ a $ 是積極的和順利的，這樣的 $ a $ 及其衍生物 $ a’ $ 是有界的。讓 $ \xi_t $ 是時候- $ t $ 到期歐式看漲期權的價格 $ T $ 並罷工 $ K $ . 讓 $ V: [0,T] \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}_{+} $ 滿足偏微分方程（帶邊界條件）
$$ \begin{equation} \frac{\partial V}{\partial t} (t,S) + \frac{a(S)^2}{2} \frac{\partial^2}{\partial S^2} V(t,S) =0, \quad V(T,S)= (S-K)^{+}. \end{equation} $$ 我們讓 $ \xi_t = V(t,S_t) $ 這樣就沒有套利了。 我們想證明看漲期權 $ \xi_t $ 可以通過持有複製 $ \pi_t = U(t, S_t) $ 庫存單位，其中 $ U: [0,T] \times \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ 滿足 PDE（帶邊界條件）
$$ \begin{equation} \frac{\partial U}{\partial t} (t,S) + a(S) a’(S) \frac{\partial}{\partial S} U(t,S) +\frac{a(S)^2}{2} \frac{\partial^2}{\partial S^2} U(t,S) =0, \quad U(T,S)= \mathbf{1}_{ {S\geq K }}. \end{equation} $$ 到目前為止我做了什麼：
讓策略成為 $ \phi_t $ 現金單位， $ \pi_t = U(t,S_t) $ 庫存單位。
顯然，根據定義， $ \phi_t = \xi_t - U(t,S_t) S_t $ . 但是，這似乎不起作用，因為它不是自籌資金：
根據伊藤引理， $ d \xi_t = d V(t, S_t) = \frac{\partial V}{\partial S} a(S_t) dW_t $ （使用第一組 PDE）。因此，聲稱它是自籌資金等於說
$$ \begin{equation} \frac{\partial V}{\partial S} a(S_t) dW_t = U(t,S_t) a(S_t) dW_t + \phi_t dt, \end{equation} $$ 這顯然不是真的。有任何想法嗎？
我認為這裡的標題具有誤導性。讓我們回到 BS 世界 $ r=0 $ 到 $ a(S_t)=S_t \sigma. $ 在這種情況下，您所說的只是您可以通過持有複製看漲期權 $ N(d_1) $ 當時的庫存單位 $ t. $
這與第二個等式有什麼關係？我猜這是以股票為計價資產的無期權資產的價格過程，因此它評估為 $ N(d_1). $
所以我的方法是重複 BS 複製參數 $ \sigma $ 被允許是一個函式 $ S_t. $ 然後將股票作為計價單位，以獲得增量滿足第二個等式的事實。
這個練習真的不是要複製一個有資產或什麼都沒有的呼叫。它只是關於呼叫增量的 PDE。
BS 方程的通常推導首先考慮一個投資組合做空期權
$$ \Pi_t = \delta^0_t B_t + \delta_t S_t - V(t,S_t) $$ 假設投資組合是自籌資金（利率 = 0），我們得到 $$ d\Pi_t = \delta_t dS_t - dV(t,S_t) = (\delta_t - \partial_SV)a(S_t)dW_t - (\partial_tV + \frac{1}{2}a(S_t)^2\partial^2_{SS}V)dt $$ 我們通過選擇使投資組合無風險 $ \delta_t = \partial_S V(t,S_t) $ . 並作為 $ \Pi $ 現在是無風險的，它必須獲得 0 的無風險利率，這樣我們就得到了 V 的 PDE。 $$ \partial_tV + \frac{1}{2}a(S)^2\partial^2_{SS}V = 0 $$ 推導 V wrt S 的 PDE 得到 PDE $ \delta(t,S) = \partial_S V(t,S) = U(t,S) $ : $$ \partial_tU + a(S)a’(S)\partial_{S}U + \frac{1}{2}a(S)^2\partial^2_{SS}U = 0 $$ 設置初始值 $ \Pi_0 = 0 $ 確保 $ \Pi_t = 0 $ $ \forall t $ 所以我們複製 $ V $ 完美地持有 $ \delta_t = U(t,S_t) $ 單位 $ S_t $ . PS：我寫的 $ \delta^0_t $ 和 $ \delta_t $ 代替 $ \phi_t,\pi_t $ . 你的自籌資金方程式中的錯誤是它應該寫
$$ dV(t,S_t) = \pi_tdS_t + \phi_t dB_t $$ 但 $ B_t = 1 $ 所以 $ dB_t = 0 $ 我們只剩下 $$ \partial_S V(t,S_t) a(S_t)dW_t = U(t,S_t)a(S_t)dW_t $$ 這是另一種查找方式 $ \pi_t = U(t,S_t) = \partial_S V(t,S_t) $ .