期權定價
使用蒙地卡羅的風險中性和真實世界估值
假設我是一個想要出售奇異看跌期權的投資者。沒有其他人在出售我的看跌期權，所以我需要通過蒙特卡羅模擬來確定我自己的“市場價格”。我知道根據一價定律，這應該成立：
$$ P_t = E^Q[P_t|\mathcal{F}_t] = E^P[P_t|\mathcal{F}_t] $$
在我的風險中性蒙地卡羅估值中，我將股票價格建模為：
$$ dS = rS_tdt + \sigma S_tdW_t $$
在我的真實世界蒙地卡羅估值中，我將股票價格建模為：
$$ dS = \mu S_tdt + \sigma S_tdW_t $$
只是直覺地考慮一下，在我的真實世界蒙特卡羅模擬下估值的看跌期權將比我在風險中性模擬下的看跌期權便宜得多，因為增長率要高得多。那麼我在這裡錯過了什麼？我的第一個陳述是錯誤的，P 和 Q 度量下的期望是相等的，還是我的第二個陳述不正確？
只是為了補充@Kevin的答案：
這里至少發生了兩件事。首先讓 $ {Q_i } $ 表示一組等效的機率測度，其中包括您的 $ P $ 和 $ Q $ 以上。
- 任何 $ F^i(t) $ 定義為 $ F^i(t) = E_t^{Q_i} [P_T] $ 應用塔定律將是鞅。
- 根據上面的定義，情況並非如此 $ F^i(t) = F^j(t) $ . 相反，如果 $ dQ_i / dQ_j $ 表示測量變化（技術上稱為 Radon-Nikodym 導數），然後
$$ E_t^{Q_i} [P_T] = E_t^{Q_j} \left[ \frac{dQ_i}{dQ_j} P_T \right] $$
這是一價定律的正確形式。