S. Bossu 的相關互換模型
我正在閱讀 Sebastien Bossu 的*“A new Approach For Modeling and Pricing Correlation Swaps”*（連結）。我正在回憶論文中的一些定義，並想了解如何證明最初提出的主張之一。開始了。
宇宙 $ S = (S_i) \quad i = 1..N $ . 權重向量 $ w = (w_i) \quad i = 1..N $ .
- 表示 $ S_i(t) $ 股票價格 $ S_i $ 當時 $ t $ , 有約定 $ S(0) = 1 $ ，我們將它們的幾何定義為： $ I(t) = \prod_{i=1}^N S_i(t)^{w_i} $ .
在機率空間下 $ (\Omega, E, P) $ 和 $ P $ -過濾 $ F $ ，並假設向量 $ S $ 股票價格是一個 $ F $ -適應的，積極的伊藤過程。
給定一個時間段 $ T $ 和一個積極的伊藤程序 $ X $ ，我們定義： $ |\tau| = \int_\tau ds $
$ \sigma^X(\tau) = \sqrt{ |\tau|^{-1} \int_\tau (d \ln X_s)^2} $
$ \overline{\sigma}^S(\tau) = \sqrt{\sum_1^n w_i (\sigma^{S_i} (\tau))^2} $
$ \epsilon(\tau) = \sqrt{\sum_1^N w^2_i (\sigma^{S_i}(\tau))^2} $
既然我們已經定義了這些術語，那麼聲明是， $ \overline{\sigma}^S(\tau) >= \sigma^I(\tau) $ . 我試圖證明這個身份是徒勞的。我不確定我錯過了什麼。這是我的嘗試。
$ \ln (I) = \ln (\prod_{i=1}^N S_i(t)^{w_i}) = \sum w_i \ln S_i(t) $
$ d \ln (I) = \sum w_i d \ln S_i(t) $
$ \overline{\sigma}^S(\tau) = \sqrt{\sum_1^N w_i \frac{1}{\tau} \int_\tau (d \ln S_i)^2} = \sqrt{\sum_1^N w_i \sigma_i^2} $
$ \sigma^I(\tau) = \sqrt{|\tau|^{-1} \int_\tau (d \ln I)^2} $
$ =\sqrt{|\tau|^{-1} \int_\tau (\sum w_i d \ln S_i(t))^2 } = \sum_{i,j =1}^N w_i w_j \rho_{ij} \sigma_i \sigma_j $
$ \sigma^I(\tau)^2 = \sum_{i,j} \rho_{ij} w_i w_j \sigma_i \sigma_j \le \sum_{i,j} w_i w_j \sigma_i \sigma_j $
我認為歸納證明應該可以很好地工作，但它無處可去；在這裡，對於 $ N = 1 $ 這是真的，現在如果我假設它是真的 $ N $ 我們必須證明，
$ w_{N+1} \sigma_{N+1}^2 \ge \sum_{i=1}^{N+1} w_i w_{N+1} \rho_{i{N+1}} \sigma_i \sigma_{N+1} $
清楚地， $ \sum_{i=1}^{N+1} w_i w_{N+1} \rho_{i{N+1}} \sigma_i \sigma_{N+1} \le \sum_{i=1}^{N+1} w_i w_{N+1} \sigma_i \sigma_{N+1} $ $ \le \sum_{i=1}^{N+1} w_{N+1} \sigma_i \sigma_{N+1} $
現在我被卡住了，因為我選擇了明確的身份 $ \ge $ 左側。我嘗試了其他幾種方法來解決它，但結果相似。我不確定我錯過了什麼。
你似乎缺少的是 $$ \sum_{i,j} w_i w_j \sigma_i \sigma_j = \left(\sum_i w_i\sigma_i\right)^2 $$
現在應用 Jensen 不等式得到 $$ \left(\sum_i w_i\sigma_i\right)^2 \leq \sum_i w_i\sigma_i^2 $$
QED（請注意，非負權重在這裡是一個關鍵假設）