支付函式的平滑作為數值期權定價的終止條件
我有興趣在（基礎資產）空間中使用四階有限差分法來為歐洲看漲期權定價。我已經開發了求解器，一切都按預期工作，除了無論我的數值方法的階數有多高，由於支付函式的一階導數的不連續性，最大收斂速度始終是二階的。
幸運的是，有一個平滑補救措施，在 1970 年左右得到證明，在Kreiss 等人的經典論文Smoothing of initial data and rates of parabolic Difference equations中得到證明。這最近在Düring 等人的多空間維混合導數拋物線問題的高階緊湊方案中使用，但沒有解釋該論文第 9 章中的傅里葉變換給出的函式如何被反轉並插入到平滑積分。
如果有人知道如何執行這個四階平滑過程，我將不勝感激。實際上，我需要解決以下積分： $$\tilde{u}0(s)=\frac{1}{h}\int{-3h}^{3h} \Phi_4\left(\frac{x} {h}\right)u_0(sx)\text{d}x,$$ 其中 $\Phi_4$ 由其傅里葉變換給出： $$\hat{\Phi}_4(\omega)=\left(\frac {\sin(\omega/2)}{\omega/2}\right)^4\times\left(1 + \frac{2}{3}\sin^2(\omega/2)\right)。 $$
更新： 我設法使用 Mathematica 和 Matlab 的符號功能解決了這個問題。下面以 Matlab 程式碼的形式給出了逆傅立葉問題的解決方案：
f4 = @(x) (1/36)*(1/2)*... ( +56*x.^3.*sign(x) +(x-3).^3.*(-sign(x-3)) +12*(x-2).^3.*sign(x-2) -39*(x-1).^3.*sign(x-1) -39*(x+1).^3.*sign(x+1) +12*(x+2).^3.*sign(x+2) -(x+3).^3.*sign(x+3));然後，只需將該表達式與他們最喜歡的初始條件一起插入第一個方程中給出的積分中，並使用偏好方法求解。
我只是想說，我使用 Mathematica 和 Matlab 的符號/分析特徵來執行傅里葉逆變換，然後我使用高階數值積分來解決平滑積分。
另一種方法是使用一些預測，如 Pooley 和 Vetzal Convergence 的補救措施，用於期權定價中的非平滑收益。
在您的情況下，它可能是初始條件到 RBF 空間的投影（我已閱讀您的論文，看起來很有趣）。我想知道這兩種方法如何比較。