使用拉普拉斯變換求解 Black-Scholes PDE
我試圖在 CEV 過程下獲得看漲期權價格與到期時間的拉普拉斯變換。
眾所周知的 Black Scholes PDE 由下式給出
$$ \frac{1}{2}\sigma(x)^2x^2\frac{\partial^2}{\partial x^2}C(x,\tau)+\mu x\frac{\partial}{\partial x}C(x,\tau)-rC(x,\tau)-\frac{\partial}{\partial \tau}C(x,\tau)=0. $$ 其中初始條件 $ C(x,0)=max(x-K,0) $ 和 $ \sigma(x)=\delta x^\beta $ . 取拉普拉斯變換關於 $ \tau $ ，我們得到以下 ODE：
$$ \frac{1}{2}\delta x^{2\beta+2}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\hat{C}(x,\lambda)+\mu x\frac{\partial}{\partial x}\hat{C}(x,\lambda)-(\lambda+r)\hat{C}(x,\lambda)=-max(x-K,0). $$ 在哪裡 $ \hat{C}(x,\lambda)=\int_0^\infty e^{-\lambda \tau}C(x,\tau)d\tau $ 並且初始條件轉換為
$$ \hat{C}(x,\lambda)=\int_0^\infty e^{-\lambda \tau}C(x,0) d\tau=max(x-K,0)/\lambda $$（這對嗎？？？好像錯了..） 然後， $ \hat{C}(x,\lambda) $ 可以通過案例分析制定 $ x>K $ 和 $ x\leq K $ .
如何獲得明確的公式 $ \hat{C}(x,\tau) $ ? 我不能從這個階段繼續。
我知道一篇與此問題相關的論文“(2001 Dmitry) Pricing and Hedging Path-Dependent Options under the CEV”。但是，我很容易理解有很大的跳躍。你能一步一步解釋嗎？
以下論文以非常詳細的形式為您提供了所有缺失的步驟：
Ravi Shukla 和 Michael Tomas的 Black-Scholes 期權定價公式的完整解決方案
從論文中：
“本展示文稿純粹是為了教學目的。在進行期權定價工作的過程中，我們沒有找到 Black-Scholes 模型的完整解決方案。完整的意思是從隨機過程的假設到 Black 的封閉形式-Scholes模型，帶有重要的代數步驟供讀者學習。許多文本從隨機過程推導出偏微分方程，然後飛躍到封閉形式的解。[一篇文本呈現]基於拉普拉斯變換方法的步驟
$$ … $$在這裡，我們展示了完整的解決方案，填充了所有必要的代數細節。”