加速計算：何時在定價中使用準和標準蒙地卡羅
我熟悉數值積分中的蒙特卡羅技術理論，最近我開始嘗試將這些方法應用於衍生品定價。我正在使用 Glasserman 的書作為參考。
我首先計算了簡單的 ATM 普通呼叫價格。我的設置非常基本：我有 100 個時間步長，我使用 Black-Scholes 模型（這樣我可以檢查結果的有效性）和 Euler-Maryuama、Runge Kutta 和 Milstein 數值積分方案。看來我需要關於 $ 10^6 $ 樣本以獲得穩定的結果，而在 Python 中大約需要 6 分鐘。我有一台相當快的機器，我發現這個速度真的很低。最初我認為原因是隨機採樣器。但是根據我的檢查，對正常隨機變數進行採樣確實需要一些時間，但是 $ 80% $ 計算時間的一部分來自算術運算（加法和乘法） - 即使在基本的 Euler-Maryuama 方案的情況下也是如此。我確實明白，在幾何布朗運動的情況下，有很多更智能的模擬技術可用，但我想保持它的通用性，因為我最終想使用更通用的擴散。
也許這只是 Python 的一個問題，但這個問題讓我想到了加快我的蒙地卡羅模擬。在格拉瑟曼的書中，有兩種超速程序：
- 變異數減少，包括控制變數、對立抽樣和重要性抽樣。我以前用過後者，我最好的選擇就是這個。
- 準蒙特卡羅（低差異序列）。我以前從未使用過它，現在在我看來，它只能用於以通常的形式計算積分，比如當明確給出密度時，積分的解析公式是未知的。
到目前為止，我的目標是能夠使用 Monte-Carlo 為異國情調的期權定價。比如說，模型是一維的，而奇異的收益是非常依賴於路徑的。也許稍後我還需要為此類選項的美國版本定價。我的問題如下：
- 我應該特別注意哪些變異數減少方法？
- QMC 是否完全有可能應用於此類問題，或者我真的需要對期權價格有一個積分錶達式（在有限維域上）？
澄清我關於 QMC 的問題。我看到 (Q)MC 可以應用於定價的三種方式。
- 在實線上對布朗運動/跳躍分量的增量進行採樣
- 從路徑空間中採樣整個路徑
- 如果發現該選項的值具有形狀 $$ \tag{1} \int_D p(S_1,\dots,S_n)f(S_1,\dots,S_n);\mathrm dS_1\dots \mathrm dS_n $$ 在哪裡 $ p $ 是一個支付函式， $ S_1,\dots, S_n $ 是收益變數（多隻股票或股票的多次時間測量或其他），那麼 (Q)MC 也可用於從 $ D $ 計算積分 $ (1) $ 數字上。
據我從 Glasserman 的書中了解到，他只認為 QMC 是最後一種方法的一個很好的解決方案，他提供了一些證據證明它優於通常的隨機 MC。相反，對於前兩種方法，他談到了通常的 MC 和變異數減少技術。所以我關於 QMC 的問題是：它能否成功應用於前兩種方法，或者它不是為他們精心設計的，我不期望在前兩種方法中使用 QMC 有太多好處？
根據定義，期權的公允價值由收益的預期值給出， $ \mathbf{E}\left[\textrm{payoff}(\textit{paths})\right] $ . 的機率分佈
paths是風險中性度量。這只是您編寫的表格的完整表達。這適用於所有期權價格。當然，許多選項是特殊的，因為它們僅取決於每條路徑的最終值。因此，準蒙特卡羅總是可以應用在這些情況下，路徑的採樣與計算積分（即期權收益的期望值）本質上是一樣的。Glasserman 的評論很可能是指這樣一個事實，即如果您只是使用 QMC 生成路徑，那麼您可能無法從 QMC 生成的隨機數的低差異中獲得全部好處。換句話說：樣本的差異很小，但生成的路徑可能沒有。所以變異數減少可能不會那麼大。這都是相對的，因為其他變異數減少方法可能會產生更好的結果（即價格估計中的變異數更低）。
現在，您的實際問題與 QMC 沒有任何關係。阻礙你的是 Python。Euler-Maryuama、Runge Kutta 和 Milstein 等方案都是無法矢量化的方案。因此，我懷疑您可能有一些表單的程式碼片段：
import numpy as np ... some definitions ... for i in range(1, N_timesteps): for j in range(N_paths): S[i, j] = S[i - 1, j] * np.exp((r-0.5*sigma**2)*dt + sigma*np.sqrt(dt) * np.random.randn())問題是這在 Python 中通常非常慢。你可以做的事情來加快這個速度：
- 對循環外的所有隨機數進行採樣。
- 盡可能多地預先計算循環之外的因素。
- 如果可能，矢量化內部循環。
- 盡可能避免在循環內呼叫函式。
所以一般來說，我們希望在 for 循環中做的盡可能少，因為這些呼叫在 Python 中非常昂貴。
例如，我們可以將上面的內容寫成：
import numpy as np ... some definitions ... Z = sigma*np.sqrt(dt) *np.random.randn(N_timesteps -1, N_paths) drift = (r-0.5*sigma**2)*dt for i in range(1, N_timesteps): S[i] = S[i - 1] * np.exp(drift + Z[i-1])所以內部循環已經被“矢量化”了，採樣都是在循環之前完成的，等等。
如果這仍然不夠（如果您有很多 for 循環，這很可能），那麼您將需要執行一些更“高級”的優化。這通常歸結為獲取程式碼中最慢的部分（幾乎總是 for 循環），將其放入函式中，然後在 Cython 或 Numba 中編寫此函式。
例如，使用 Numba，我們可以將修飾函式中的 for 循環定義為：
from numba import autojit @autojit def my_loop(S, Z, drift): for i in range(1, S.shape[0]): for j in range(S.shape[1]): S[i, j] = S[i - 1, j] * np.exp(drift + Z[i-1, j]) ... some definitions ... Z = sigma*np.sqrt(dt) *np.random.randn(N_timesteps -1, N_paths) drift = (r-0.5*sigma**2)*dt my_loop(S, Z, drift)第一次呼叫 my_loop 時，Numba 將編譯函式（需要半秒）。這導致了一個執行得更快的函式。這是優化程式碼中某些常式的好方法。
但要真正幫助您，我們需要查看一些程式碼！