隨機波動徵費模型
嘿，我對 Levy 過程的隨機波動性有一些疑問。如果我理解正確，如果我們通過CIR流程更改Levy流程中的時間，那麼新收到的流程不再是Levy流程嗎？我們將股票價格建模為 $$ S(t)=S(0)\frac{\exp((r-q)t+Z(t))}{E[\exp(Z(t))]} $$ 在哪裡 $ Z(t) $ 是隨機波動率,,Levy’’ (?) 過程。在這篇文章中寫道，這個過程不是鞅。那麼為什麼我們用它來定價呢？任何人都可以盡可能簡單地解釋我嗎？
VGSV、NIGSV 和 CGMYSV
讓 $ X_t $ 是一個變異數伽瑪過程（或 NIG 或 CGMY）並讓 $ Y_t=\int_0^t y_s\mathrm{d}s $ 在哪裡 $ y_s $ 是CIR ( Heston ) 平方根過程。然後我們設置$$ Z_t=X_{Y_t}, $$這意味著我們首先通過伽馬過程從屬具有漂移的布朗運動（以獲得 VG 過程 $ X_t $ ) 然後再次使用集成的 CIR 流程從屬， $ Y_t $ . 半鞅 $ Z_t $ 稱為 VGSV/NIGSV/CGMYSV（其中 SV 代表隨機波動率），或者通常稱為隨機波動率 Lévy 過程 (SVLP)。請注意，雖然布朗運動和 Gamma 過程具有獨立且靜止的增量，但兩者都沒有 $ y_s $ 也不 $ Y_t $ 是 Lévy 過程本身 ( $ y_s $ 均值回歸）。然而， $ Y_t $ 顯然是非負的和非遞減的，因此是一個有效的從屬。CIR過程可以解釋為時間變化的瞬時速率。卡爾等人。（2003）表明$$ \varphi_{Z_t}(u)=\varphi_{Y_t}\left(-i\Psi_{X_t}(u)\right). $$VG（或 NIG 或 CGMY）過程的特徵指數， $ \Psi_{X_t} $ , 是眾所周知的，而特徵函式 $ Y_t $ 也可以很容易地以封閉形式獲得（在公式（3.2）下面的論文中說明）。
重要的是，正如你所說，這個過程 $ Z_t $ 不再有獨立的增量。因此，它不是一個 Lévy 過程，但它可以模擬波動性集群。請記住，標準 Lévy 過程（隨機時鐘）是通過從屬關係（日曆時間與業務時間）獲得的，並為豐富的跳轉結建構模。但是，它們未能包含隨機波動性元素。
VGSA、NIGSA 和 CGMYSA
卡爾等人。(2003) 提出了兩種建構股票價格模型的方法 $ Z_t $ . 你指的是第一個是``優於
$$ its $$ 擷取選項表面資訊內容的能力’’。放$$ S_t=S_0\frac{e^{(r-q)t+Z_t}}{\mathbb{E}^\mathbb{Q}[e^{Z_t}]}, $$在哪裡 $ r $ 和 $ q $ 分別是無風險收益率和股息收益率。然後， $$ \begin{align*} \varphi_{\ln(S_t)}^\mathbb{Q} &= \mathbb{E}^\mathbb{Q}[e^{iu\ln(S_t)}] \ &= \mathbb{E}^\mathbb{Q}[e^{iu\ln(S_0e^{(r-q)t})}e^{iuZ_t}e^{-iu\ln(\mathbb{E}^\mathbb{Q}[e^{Z_t}])}] \ &= e^{iu\ln(S_0e^{(r-q)t})}\frac{\varphi_{Y_t}\left(-i\Psi_{X_t}(u)\right)}{\varphi_{Y_t}\left(-i\Psi_{X_t}(-i)\right)^{iu}}. \end{align*} $$ 請記住 $ \Psi_{X_t} $ 和 $ \varphi_{Y_t} $ 是眾所周知的。指數股價過程 $ S_t $ 稱為 VGSA/NIGSA/CGMYSA。此外 $ r $ , $ q $ 和VG過程的三個參數，VGSA過程還依賴於三個CIR參數。論文的第 7 節展示瞭如何另外引入槓桿（收益和波動率之間的負相關）作為另一個參數。槓桿效應是一個重要的經驗程式化事實。 套利和鞅
因為 $ Z_t $ 不是 Lévy 流程，如何確保 $ e^{-rt}S_t $ 是一個 $ \mathbb{Q} $ -鞅。因此，我們的經典鞅（風險中性）定價方法並不直接適用於他們的設置。這就是他們引入鞅邊際概念的原因。特別是，您需要閱讀他們論文的第 4.1 節。例如，他們證明了（如果沒有靜態套利）風險中性密度滿足這個鞅邊際屬性。特別是，鞅邊際屬性是一個比等價鞅測度定價更基本的概念（這需要同時缺少靜態和動態套利策略）。他們提供了一個簡單的兩步二叉樹範例，其中不存在等效的鞅測度，但鞅邊際屬性成立。
卡爾等人。(2003) 描述了建構股票價格的第二種方法，該方法在貼現後確保為鞅（命名為 VGSAM、NIGSAM 和 CGMYSAM），但在擬合觀察到的期權數據時表現較差。我們在上面建構的更保守的過程（VGSA、NIGSA 和 CGMYSA）不允許靜態套利並滿足Lévy 邊際 (LM) 屬性，如果 CIR 處理用於它們的建構， $ y_s $ , 從零開始（定理 5.1）。在第 8 節中，作者說明瞭如何在他們的設置中應用 Carr 和 Madan (1999) 的快速傅里葉變換 (FFT) 期權定價公式。