複製有回報的投資組合的策略∫噸0d小號噸小號噸∫0噸d小號噸小號噸int_0^T frac{dS_t}{S_t}
給定資產價格 $ S_t $ 定義如下 $$ \frac{dS_t}{S_t}= r_tdt+\sigma_tdW_t $$ 在哪裡 $ r_t $ 不一定是確定性的。
有回報的投資組合複製策略是什麼 $ \int_0^T \frac{dS_t}{S_t} $ ?
我的嘗試：
事實上，我只能針對特殊情況解決這個問題 $ r_t $ 是確定性的。為簡單起見，我為更簡單的情況提供了解決方案 $ r_t =r $ 持續的。
讓我們 $ V_t $ 的複制組合 $ \int_0^T \frac{dS_t}{S_t} $ ， 我們有 $$ \begin{align} V_t &=e^{-r(T-t)}E^{\Bbb Q}[\int_0^T \frac{dS_u}{S_u}|\mathcal{F}_t] \ &=e^{-r(T-t)}\int_0^t \frac{dS_u}{S_u}+e^{-r(T-t)}E^{\Bbb Q}[\int_t^T (rdu+\sigma_udW_u)|\mathcal{F}_t] \tag{1}\ &=e^{-r(T-t)}(\int_0^t \frac{dS_u}{S_u}+r(T-t)) \tag{2}\ \end{align} $$
從 (2) 中，通過應用 Ito 引理，我們很容易得到 $$ \begin{align} dV_t &= re^{-r(T-t)}(\int_0^t \frac{dS_u}{S_u}+r(T-t))dt +e^{-r(T-t)}(\frac{dS_t}{S_t}-rdt) \ &= r(V_t-e^{-r(T-t)})dt+e^{-r(T-t)} \frac{dS_t}{S_t} \tag{3}\ \end{align} $$
從（3），我們觀察到我們可以複製 $ V_t $ （等於 $ \frac{e^{-r(T-t)}}{S_t}S_t+ \frac{V_t-e^{-r(T-t)}}{B_t}B_t $ ) 通過投資 $ e^{-r(T-t)} $ 在資產 $ S_t $ 有時 $ t $ 和投資組合的其餘部分 $ (V_t-e^{-r(T-t)}) $ 用現金。
問題：
對於一般情況 $ r_t $ 是隨機的，我不知道如何從 (1) 推導出 (2)，或從 (2) 推導出 (3)。
我想一般情況下的策略一定是投資 $ P(t,T) $ 在資產 $ S_t $ ( $ P(t,T) $ 是之間的零息債券價格 $ t $ 和 $ T $ ) 和其餘的投資組合現金。但我不知道如何證明這一點。
零息債券 $ P(t,T) $ 由指定
$$ \frac{dP(t,T)}{P(t,T)} = r_tdt + \gamma_t dB_t $$
為簡單起見，讓我們假設之間的相關性 $ B_t $ 和 $ W_t $ 為零（ $ \left<dB_t,dW_t\right> = 0 $ )
其實很簡單：按住 $ \frac{1}{S_t} $ 隨時有股單位！那麼，無論利率或波動率是隨機的，您的投資組合價值的變化是 $ \frac{dS_t}{S_t} $ 因此，您的投資組合的終值是 $$ \int_0^T{\frac{\mathrm{d}S_t}{S_t}} $$
因此，假設存在零息債券就足夠了。我們不必指定其他任何內容。
先定義
$$ X_t = \int_0^t \frac{dS_u}{S_u} $$
然後 $$ dX_t = \frac{dS_t}{S_t} $$
注意 $$ X_T = \frac{X_T}{P_T} = \int_0^T d \left( \frac{X_t}{P_t} \right) $$ 自從 $ P_T = 1 $ 和 $ X_0 = 0 $ .
在下面 $ T $ - 前向測量 $ X_t/P_t $ 是一個鞅，它再次表明索賠的目前價格是 $ 0 $ .
我們主要對被積函式中的表達式感興趣： $$ d \left( \frac{X_t}{P_t} \right) = \frac{1}{P_t} dX_t - \frac{X_t}{P_t^2} dP_t + O(dt) $$ 我們對 Ito 項不感興趣，因為它們加起來為零（定價 PDE）。
所以複製應該是 $$ \frac{1}{P_t S_t} dS_t - \frac{1}{P_t^2} \left( \int_0^t \frac{dS_u}{S_u} \right) dP_t $$
我認為這是做到這一點的方法。