二項式定價模型中的狀態價格平減指數
這個問題來自金融經濟學考試，我對似乎不存在的州價格平減指數感到非常困惑。為了完整起見，我已經包含了整個問題，但我的實際問題非常簡潔。
一家投資銀行發行了一份為期兩個月的不支付股息股票的歐式看漲期權（其目前價格 $ S_0 = 100 $ ) 行權價 $ K = 98 $ . 無風險利率 $ r = 8% $ 每年，股票的預期回報為 $ 15% $ 每年，兩者都連續複利。假設股價過程遵循幾何布朗運動，對數股價變化的年度標準差等於 $ 25% $ .
tldr： $ S_0 = 100 $ , $ K = 98 $ , $ r = 8% $ , $ \sigma = 0.25 $ 和 $ dS_t = S_t(0.15dt + 0.25dW_t) $
(i) 建構一個兩期重組二項式模型，其中每期為一個月，從而得出當時的狀態價格平減指數 $ t = 2 $ . 決定股價上漲和下跌後股價的參數應該是那些將模型校準到上述標準偏差的參數。
(ii) 使用上述 (i) 中的狀態價格平減指數推導出期權當時的價值 $ t = 0 $ .
(iii) 確認通過風險中性估值獲得相同的期權價值
現在，我可以在不使用州價格平減指數的情況下為這個選項定價。到目前為止，我的工作總結是：
使用 Cox-Ross-Rubinstein 假設，向上跳躍的大小：
$$ u = e^{\sigma\sqrt{\delta t}} = e^{0.25/\sqrt{12}} = 1.07484 = 1/d $$ 上升的風險中性機率： $ q = \frac{e^{r\delta t} - d}{u - d} = 0.52826 $ 從這裡很容易計算出每個狀態的風險中性機率：
$$ \mathbb{Q}({uu}) = 0.27907 $$ $$ \mathbb{Q}({ud}) = \mathbb{Q}({du}) = 0.24920 $$ $$ \mathbb{Q}({dd}) = 0.22253 $$ 從那裡開始，風險中性定價很容易。
然而，這個例子中的州價格平減指數是什麼？
根據我的筆記：二項式模型中的州價格平減指數是：
$$ A_n = e^{-rn}(\frac{q}{p})^{N_n}(\frac{1-q}{1-p})^{n-N_n} $$ 在哪裡 $ N_n $ 是截至時間的升級次數 $ n $ 和 $ p $ 是現實世界中上升的機率。
然而，因為我們被賦予了 $ S_t $ 在真實世界的機率測度中具有 GBM 動力學：
$$ p = \mathbb{P}[\text{up-step}] = \mathbb{P}[S_{t+1} = u \cdot S_t] = 0 $$ **我的問題：**當假設的現實世界分佈是連續的但我們在（必然是離散的）二項式模型中工作時，我們如何定義狀態價格平減指數？
首先，您必須找到與 (I) 部分中的標準差匹配的 p、u 和 d。這個問題的定義有點不明確，即使您精確匹配均值和標準差，也有多種解決方案。強加一個額外的條件來獲得所有三個。
一旦完成計算 $ q $ 通過
$$ q = \frac{e^{r \delta t} - d}{u-d}. $$ 然後從比率中找到狀態價格平減指數 $ q/p. $
我想你要獲得真實世界機率度量 P 的值，應該給出預期回報率……否則應該給出 P 的值。