理解ñ(d1)ñ(d1)N(d_1)和ñ(d2)ñ(d2)N(d_2)
首先，如果幾何布朗運動的解是 $ S_t = S_0 \exp((r-\sigma^2)t + \sigma W_t $ 那麼如果我的付款不一定是完整的看漲期權，例如，如果執行價格 $ K $ 如果股價在 6 個月後高於其初始值 20%，則釋放當時的 5000 股付款，這是如何得出的 $ N(d_1) $ 或者 $ N(d_2) $ ? 我在這裡建立的聯繫是 $ d_1 = \dfrac{\ln(S_t/K) + (r - \sigma^2)\sqrt{t}}{\sigma \sqrt{t}} $ 所以如果我要按照我學過的方法來解決它，它會如下所示 $ V_0 = \exp(-rt)E[X|\mathscr{F}_t] $ 其中 X 是指定的付款。
然後： $$ \begin{align*} V_0 &= \exp(-rt)\cdot E[10,000\cdot\mathbb{I}{(S_{0.5} > 1.2S_0)}|\mathscr{F}_t]\ &=10,000\cdot\exp(-rt)\cdot P\left((r-\dfrac{1}{2}\sigma^2)\cdot t+ \sigma W_t > \ln(1.2)\right)\ &= 10,000\cdot\exp(-rt)\cdot P\left(W_t > \dfrac{\ln(1.2) - (r-\dfrac{1}{2}\sigma^2)t}{\sigma}\right). \end{align*} $$這不相似 $ N(d_1) $ .
是初始公式 $ S_t = S_0\cdot\exp((r-\sigma^2)t + \sigma W_{t}\sqrt{t} ) $ 相當？
Black Scholes (1973) 模型假設 $ \mathrm{d}S_t=rS_t\mathrm{d}t+\sigma S_t\mathrm{d}W_t $ . 因此，$$ S_t=S_0\exp\left(\left(r-\frac{1}{2}\sigma^2\right)t+\sigma W_t\right). $$請注意因素 $ -\frac{1}{2}\sigma^2t $ 在指數中。如果您合併股息，請替換 $ r $ 經過 $ r-q $ . 您不需要額外的期限 $ \sqrt{t} $ 在布朗運動之前，因為根據定義， $ W_t\sim N(0,t) $ .
然後，您確實可以使用表示時間的風險中性定價 $ t $ 索賠價格 $ X $ 作為$$ \mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[\frac{B_t}{B_T} X\bigg|\mathcal{F}_t\right]. $$這裡， $ (B_t) $ 是一個本地無風險銀行賬戶，由 $ \mathrm{d}B_t=r_tB_t\mathrm{d}t $ . 在布萊克-斯科爾斯的世界裡， $ r_t\equiv r $ 這樣 $ \frac{B_t}{B_T}=e^{-r(T-t)} $ .
您描述了一種歐式期權，如果最終股票價格超過執行價格，則支付一個單位的股票。這些被稱為asset-or-nothing 呼叫。他們的價格簡直等於$$ S_te^{-q(T-t)}N(d_1) $$與標準$$ d_1=\frac{\ln\left(\frac{S_0}{K}\right)+\left(r-q-\frac{1}{2}\sigma^2\right)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}. $$在您的特殊應用程序中您需要做的就是設置 $ K= 1.2S_0 $ 和 $ T=\frac{1}{2} $ 並將期權價格乘以 5,000。