馬爾可夫過程在期權定價中的應用

在幾本關於資產定價的書籍中，尤其是涉及期權定價的書籍中，我看到了馬爾可夫過程的使用，他們認為這種過程使計算變得更容易。這足以使用馬爾科夫模型嗎？

例如，當我們談論鞅屬性時，這是資產定價基本定理的結果，證明向我們展示了為什麼它是正確的。對於馬爾可夫過程，我沒有看到，我想知道這種馬爾可夫方法的基礎是什麼

十分感謝

馬爾可夫屬性規定隨機過程的未來狀態僅取決於其目前狀態，而不取決於任何先前狀態。在離散設置中，這可以寫為：

$$ \mathbb{P}(X_{n+1}=x|X_n=x_n,X_{n-1}=x_{n-1)},…,X_0=x_0)=\mathbb{P}(X_{n+1}=x|X_n=x_n) $$

在金融領域，我們希望像股票這樣的資產價格滿足馬爾可夫性質：假設上週股價為 100，現在上漲了 10% 至 110：它再上漲 10% 或下跌 10 的機率% 不應該取決於上週發生的事情；它應該只取決於世界的目前狀態。

馬爾可夫屬性也被稱為“無記憶”：從直覺上講，資產的行為不應該依賴於達到目前狀態的“路徑”；資產不應該“記住”它們的過去以驅動它們的未來狀態（如果我們可以根據過去確定股票價格，那將很容易賺錢，不是嗎？每個人都在努力，大多數人失敗的事實從長期來看，現實世界的資產確實是馬爾可夫）。

鞅屬性對於衍生品定價很重要，並且與借貸成本有關。簡單地說，在“預期”（其中“預期”代表設定未來無套利價格的數學運算符）中，我們希望資產價格等於其目前價值，以藉款利率複合；事實上，正如資產定價基本定理所證明的那樣。

PS：請注意，並非每個馬爾可夫過程都是鞅，如本問題所述。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/71076