無現金期權的估值
研究期權定價，我遇到了以下問題：
股票的價格由動態描述： $$ dS_t = \mu, dt + \sigma,dW_t $$ 計算帶有支付功能的現金或無現金期權的公平價格 $ V(S_T) = \mathbb{1}_{S_T<K} $ .
**提示：**替換 $ \mu $ 這樣，到期時的折現價 $ S(T) $ 在無風險度量下是鞅。
這意味著期權只能在到期時行使 $ T $ 並且有價值 $ 1 $ 到期時標的價格低於行使價。
**我的想法：**使用像Euler-Maruyama這樣的離散化過程，然後遞歸計算 $ S(T) $ . 然後使用支付函式，通過蒙特卡羅模擬對其進行近似。
但是，我不知道如何使用此提示。我的教授說它可能真的很有用，但我不知道如何使用它。對這個問題的任何幫助都將非常有意義。
非常感謝。
您可以使用這樣的近似值，但有已知的分析價格。您有一個股票價格呈正態分佈的特殊情況。請參見巴舍利埃模型。
放 $ \mu=r-q $ （如果你有股息，或者乾脆 $ \mu=r $ 如果沒有股息）。所以如果你改變真實世界的機率測度 $ \mathbb{P} $ 風險中性測度 $ \mathbb{Q} $ 你明白了 $ \mathrm{d}S_t=(r-q)\mathrm{d}t+\sigma \mathrm{d}W_t $ . 然後，使用風險中性定價，您的索賠的初始價值由下式給出 $$ \begin{align*} V_0 &= e^{-rT} \mathbb{E}^\mathbb{Q}[{1}_{{S_T< K}}] \ &= e^{-rT} \mathbb{Q}[{S_T< K}]. \end{align*} $$
因此，您需要做的就是找到機率分佈 $ S_T $ 在下面 $ \mathbb{Q} $ . 再次使用 $ \mathrm{d}S_t=(r-q)\mathrm{d}t+\sigma \mathrm{d}W_t $ , 我們看到 $ (S_t) $ 是一個算術布朗運動 $ \mathbb{Q} $ 因此正態分佈。此外， $$ \begin{align*} S_T= S_0+(r-q)T + \sigma W_T \sim N\big(S_0+(r-q)T,\sigma^2T\big), \end{align*} $$ 自從 $ W_T\sim N(0,T) $ . 現在，設置 $ m=S_0+(r-q)T $ 和 $ s=\sigma\sqrt{T} $ . 然後， $ S_T=m+sZ $ 在哪裡 $ Z\sim N(0,1) $ . 因此， $$ \begin{align*} V_0 &= e^{-rT} \mathbb{Q}[{m+sZ< K}]\ &= e^{-rT} \mathbb{Q}\left[\left{Z< \frac{K-m}{s}\right}\right]\ &= e^{-rT} \Phi\left(\frac{K-m}{s}\right)\ &= e^{-rT} \Phi\left(-\frac{S_0-K+(r-q)T}{\sigma\sqrt{T}}\right) \ &= e^{-rT} \left(1- \Phi\left(\frac{S_0-K+(r-q)T}{\sigma\sqrt{T}}\right)\right), \end{align*} $$
在哪裡 $ \Phi $ 表示標準正態分佈的累積分佈函式。
讓我強調一下，當然，你可以用 Euler Maruyama 對這種說法進行定價。您還可以使用有限差分或傅立葉變換。你甚至可以建立一個（二項式）樹。但是，如果有一個簡單的分析答案可用，那將是首選。
順便說一句，在 Black-Scholes 模型中，Cash-Or-Nothing 期權的價格由下式給出 $ e^{-rT}\Phi(-d_2)=e^{-rT}\big(1-\Phi(d_2)\big) $ ，請看這裡。