變異數交換和對數矩公式
我正在查看 Raval 和 Jaquier 的論文The Log Moment Formula For Implied Volatility 可在此處找到：https ://arxiv.org/pdf/2101.08145.pdf
他們在第 4 頁上寫道（與 $ <logS>_T $ 和 $ <S>_t $ 二次項）：
$ <logS>T $ = $ \int{0}^{T}\frac{1}{S_t^2}d<S>t = -2 log(\frac{S_T}{S_0}) + 2\int{0}^{T}\frac{1}{S_t}dS_t $
我不太了解推導的最後一步，因為我發現：
$ -2\frac{S_T - S_0}{S_0} + 2\int_{0}^{T}\frac{1}{S_t}dS_t $
此外，作者定義：
$ -log(\frac{S_T}{S_0}) = \frac{S_T - S_0}{S_0} + \int_{S_0}^{\infty}(\frac{S_t-K}{K^2})^+dK + \int_{0}^{S_0}(\frac{K-S_t}{K^2})^+dK $
我無法證明。有人可以幫我嗎。
謝謝
從…開始$$ dS_t = rS_tdt +\sigma_t S_tdW_t, $$
伊藤引理分兩步給出：
$$ d\log S_t = S_t^{-1} dS_t - 2^{-1}S_t^{-2} (dS_t)^2 ; ; ; (*) $$
$$ d\log S_t = (r-2^{-1}\sigma^2_t) dt + \sigma_t dW_t ; ; ; (**) $$
從 (**) （並開始 SDE）我們得到
$$ d[\log S]_t = (d\log S_t)^2 = \sigma_t^2 dt = S_t^{-2} (dS_t)^2 $$
從 (*) 我們得到：
$$ d\log S_t = S_t^{-1} dS_t - 2^{-1} d[\log S]_t $$
所以：
$$ d[\log S]_t = - 2 d\log S_t + 2 S_t^{-1} dS_t $$
（你錯過了這個因素 $ 2 $ 在最後一個學期）。
第二個等式側重於 $ \log $ 契約收益，它是引理 3.6在論文中的應用，導致
$$ f(S_T)=f(S_0) + f’(S_0) (S_T - S_0) + \int_0^{S_0} f’’(K) (K-S_T)^+ d K $$ $$ + \int_{S_0}^{\infty} f’’(K) (S_T-K)^+ d K, $$
被稱為Carr-Madan 公式（對於任何凸和光滑的 $ f $ ）。在SE Quant 上查看證明。我們可以採取 $$ f(x) = \log (x), ; ; ; x = S_T, ; ; ; x_0 = S_0. $$