期權定價
蒙地卡羅模擬中的“收斂”是什麼意思？
我已經閱讀了關於衍生品定價的 MC 模擬方面的收斂，但我不清楚它的確切含義。讓我們假設我兩次為期權定價 100,000 條路徑，並且都產生相同的期權價格。這是否意味著 100,000 條路徑導致了收斂？
此外，在確定用於定價的路徑數量時，是否以 2 次不同的執行獲得相同的期權價格是一個因素？（假設我沒有重新播種隨機數。所以兩次執行之間的隨機數序列是不同的）。
為了簡單起見，讓我們假設您有一個完美的隨機數生成器（即我將只討論統計數據而不是問題的數字）。我還將專注於實際問題並掩蓋一些數學細節。
從實際的角度來看，“收斂”意味著您永遠不會從蒙地卡羅得到準確的答案，而是越來越好的近似值。試試你的 100'000 路徑範例。每次您使用新的（即獨立的）樣本時，您的期權價格的兩個值都會略有不同。
有兩個數學定理與描述收斂有關：第一，大數定律，它說獨立樣本的平均值收斂到期望值（即價格）和中心極限定理，它告訴你誤差的分佈收斂到適當縮放的正態分佈。這證明了 Mark Joshi 在他的文章中所暗示的內容。
您提到了一個典型且非常相關的問題：我需要多大尺寸的樣本才能達到一定的規定精度？如果您假設誤差的正態分佈，您可以計算信賴區間並針對樣本量求解此表達式。你會經常聽到人們說蒙地卡羅“收斂非常緩慢”或“收斂於 $ \sqrt{n} $ “。這是因為要使精度提高十倍，您需要將路徑數量增加一百倍。對於這個重要主題的認真研究，我推薦Paul Glasserman的書