模型能體現“波動微笑”是什麼意思
我知道隱含波動率是布萊克斯科爾斯模型返回正確期權價格的值。我也知道，如果我們在執行價格圖表上繪製波動率，我們會看到“微笑”。這意味著 Black Scholes 模型不適合估值，因為它假設波動率恆定。但是，另一個模型（例如 Kou 模型）可以反映波動率微笑是什麼意思呢？該模型還假設波動率恆定。這是否意味著在 Kou 模型中，隱含波動率圖更平坦，即波動率相對於行使價和到期日更恆定？
反映波動率微笑的模型是一個具有近似定價的動態模型，產生隱含波動率微笑。但是，您的問題讓我懷疑您對其中一些內容感到模糊，所以讓我們更詳細地討論一下。
隱含波動率 $ \implies $ 正確的價格？
您提到 Black-Scholes 模型中的隱含波動率給出了“正確”的價格。這有點大膽，因為我們不知道正確的價格。如果您認為可能存在效率低下，我們可能會假設正確的價格僅由市場價格或某些模型決定。（請注意，根據 Grossman-Stiglitz 的論點，您應該相信短期內的低效率）。
隱含波動率只是使市場價格和布萊克-斯科爾斯價格相等的波動率（即布萊克-斯科爾斯模型所隱含的）。
微笑還是假笑？
您還提到了波動微笑，儘管這種形狀並不普遍。Port-1987 在大多數股票市場中，“微笑”更像是一種假笑：不對稱，較低的行使價具有更高的波動性。對於大宗商品而言，隨著行使價的上漲，隱含波動率會更高*，*這種假笑更為明顯。
布萊克-斯科爾斯不合適嗎？
假設波動率恆定是否意味著 Black-Scholes 模型不適合估值？不。Black-Scholes 定價系統地偏離市場價格意味著模型是錯誤的，但正如 George Box 所指出的那樣，“所有模型都是錯誤的”。然而，布萊克-斯科爾斯模型仍然有用——因此是合適的。
為什麼布萊克-斯科爾斯偏離市場定價
Black-Scholes 和 Merton 模型假定部分均衡（在設定價格時買賣雙方之間沒有互動）和收斂到正態的對數回報的限制。這使得數學更容易——即使它與我們觀察到的不一致。
有三種力量不同意布萊克-斯科爾斯的假設：
- 我們知道，波動性不是隨時間變化的。這通常不是主要因素，但它有助於解釋為什麼我們有時會查看波動率表面。
- 更重要的是：我們認為資產回報呈現出肥尾；異常對數返回的可能性高於正常值。這意味著價外期權比 Black-Scholes 建議的更有可能在價內到期 - 因此比 Black-Scholes 的價格更有價值。即使我們正確猜測了潛在波動率，這也是正確的。市場了解這一點，因此市場價格更高。這導致執行價格的隱含波動率高於目前的基礎價格。
- 同樣重要的是：投資者不喜歡損失多於喜歡收益。這導致投資者願意為防範下行風險支付比他們為上行風險支付的更多費用：看跌期權甚至比肥尾所暗示的要貴。
將這些放在一起，隱含的波動率高於目前的基礎價格是因為肥尾和投資者避免損失的偏好。如果我們從看跌期權和看漲期權中推斷出這些隱含波動率，然後通過這些看跌期權和看漲期權的執行價格繪製它們，我們會得到一條曲線，事實上，當我們遠離（ATM 執行價格，即目前的基礎價格）時，它會更高.
什麼使布萊克-斯科爾斯合適？
使 Black-Scholes 模型保持適當的是該波動率曲線的正常行為。一個好的模型可以通過調整使其變得更好——而布萊克-斯科爾斯模型讓我們可以做到這一點。我們可以使用遠離 ATM 的執行價格更高的隱含波動率來糾正肥尾和投資者不喜歡損失而不是喜歡收益。
模型如何反映波動率曲線？
一旦你理解了所有這些，就很容易看出模型如何更好地反映波動率曲線：它可以允許非常量的變異數、更肥的尾巴和投資者偏好以降低下行風險。
Kou 模型是否反映了波動率曲線？它更好地反映了這一點，因為它包含了跳躍（有效地產生了更肥的尾巴）。Heston 波動率模型也有更粗的尾巴，因此可以更好地反映波動率曲線。
能比這些模型做得更好嗎？是的：讓投資者更不喜歡下行回報也是明智之舉。Exponential-GARCH 模型可以適應這種情況，但您需要修改 Kou 或 Heston 模型才能這樣做。