路徑相關選項提供了哪些關於隨機過程的資訊？
假設股票遵循一個過程，該過程由以下隨機微分方程定義
$$ \frac{dS}{S}=r(t)dt+\sigma(S,t)dW, $$ 使股價過程具有局部波動性。 歐式期權：基於所有行使價和到期日的歐式期權價格，我可以隨時根據目前現貨價格計算機率密度分佈。這個想法是我可以區分期權的價格 $ C(S,K) = \int_{0}^{\infty} max(S-K,0)\phi(S)ds $ 兩次，得到轉移機率密度函式的公式：
$$ \frac{\partial^2C}{\partial K^2}(K,T)=-\phi(S) $$ 亞洲期權：在此設置中，是否有關於流程的其他資訊，我可以從路徑相關期權的價格中提取這些資訊？
資訊沒有差異，儘管擬合算法可能會增加複雜性。
首先請注意，在實踐中，您永遠不會擁有完整的價格曲線或曲面 $ C(K,T) $ 任何一種選擇。你只有有限數量的觀察，甚至那些通常有出價和出價。
因此，我認為問題的正確描述如下：給定一個 $ n $ -參數規範 $ \sigma(S, t; \vec{\mu}) $ 基於參數 $ \mu_1,\dots,\mu_n $ ，哪個曲面最適合一組 $ M $ 市場觀察 $ V_1,\dots,V_M $ ?
您在歐洲看漲期權中引用的案例採用了給定期限的看漲期權價格的一些未指定中間公式 $ T $ ，然後對其進行微分以獲得積分變異數的快照 $ T $ . 這樣做幾個期限 $ T_1,\dots,T_N $ sort-of 指定本地捲 $ \sigma(S, t) $ 但只能通過添加一些進一步的假設。所以，你看，即使你引用的歐式期權案例也不是那麼明確，因為錯過了初始價格曲線規範和期限間規範。如果您考慮這些價格曲線參數，您會發現它們是您的 $ \vec{\mu} $ .
回到我們更一般的畫面，一旦你選擇了你的功能形式 $ \sigma(\cdot, \cdot; \vec{\mu}) $ （無論它是什麼），您可以將它與非線性優化器（可能是模擬退火）一起使用，以使您的本地 vols 適合您喜歡的任何市場數據集，包括異國情調的價格。
美式期權的價格可能包含有關其持有人預期行為的資訊。他/她什麼時候可以行使期權？與沒有的歐洲期權相反。
因此，當您主要對“重建”過渡密度感興趣時 - 我會堅持使用歐洲期權價格。
但是，如果您要為依賴於路徑的選項定價，那麼明智的做法是根據這些選項校準您的模型。