Heston 模型中的 Radon-Nikodym 導數是什麼？
我很清楚$$ \frac{dQ}{dP} = e^{-\lambda W_T-\frac{\lambda^2}{2}T} $$是在 Black 和 Sholes 描述的框架中定義度量變化的 Radon-Nikodym 導數。但它在赫斯頓框架中的對應物是什麼？
我在想它應該有相同的形狀，除了 $ \lambda $ 和 $ W_T $ 現在是二維過程。我對嗎？在這種情況下，會 $ \frac{dQ}{dP} $ 是二維還是一維？
讓 $$ \begin{align*} \mathrm{d}S_t&=\mu S_t\mathrm{d}t+\sqrt{v_t}S_t\mathrm{d}B_{S,t}, \ \mathrm{d}v_t&=\kappa(\bar{v}-v_t)\mathrm{d}t+\xi\sqrt{v_t}\mathrm{d}B_{v,t}, \end{align*} $$ 在哪裡 $ \mathrm{d}B_{S,t}\mathrm{d}B_{v,t}=\rho\mathrm{d}t $ .
風險的市場價格（或吉薩諾夫核或夏普比率）為 $ {\varphi}t=\left(\frac{\mu-r}{\sqrt{v_t}},\frac{\lambda \sqrt{v_t}}{\xi}\right) $ . 然後，吉爾薩諾夫定理建議 $$ \begin{align*} A_t=\frac{\mathrm{d}\mathbb Q}{\mathrm{d}\mathbb P}= \exp\bigg(&-\int_0^t \frac{\mu-r}{\sqrt{v_s}}\mathrm{d}B{S,s} -\int_0^t \frac{\lambda\sqrt{v_s}}{\xi}\mathrm{d}B_{v,s} + \int_0^t \frac{ (\mu-r)\lambda\rho}{\xi}\mathrm{d}s\ &-\frac{1}{2}\int_0^t \left(\frac{(\mu-r)^2}{v_s}+\frac{\lambda^2v_s}{\xi^2} \right)\mathrm{d}s\bigg). \end{align*} $$ 這個過程 $ A_t $ 是鞅並且解決 $ \text{d}A_t=-\varphi_tA_t\text{d}\mathbf{B}t $ ， 在哪裡 $ \mathbf{B}t=\left(B{S,t},B{v,t}\right) $ .
相應的隨機貼現因子為 $ M_t=e^{-rt}A_t $ .
在一維情況下（Black-Scholes 模型），您有 $ \varphi_t=\frac{\mu-r}{\sigma} $ 和 $$ \begin{align*} A_t=\frac{\mathrm{d}\mathbb Q}{\mathrm{d}\mathbb P}= \exp\bigg(- \frac{\mu-r}{\sigma}B_{t}-\frac{1}{2}\left(\frac{\mu-r}{\sigma}\right)^2 t\bigg). \end{align*} $$