什麼是風險中性措施？
什麼是風險中性措施？
我不相信這已經在網際網路上得到很好的回答並且所有部分都連接在一起。
所以：
- 什麼是風險中性度量/定價？
- 為什麼我們需要它？
- 我們如何在實踐中計算風險中性度量或機率？
- 風險中性定價與 SDE 的漂移有什麼聯繫？這對 3) 有幫助嗎？
介紹：
上面的 KeSchn 給出了很好的答案。我想貢獻一個額外的觀點。我對風險中性措施的經驗和理解完全基於“無套利”和“複製/對沖”的論點。
我想解釋這個觀點的方式是通過以下三步建構：
**(i)**首先，我想用單週期離散模型建立直覺：只有一隻股票和一個無風險賬戶，沒有衍生品。目的是表明，即使不嘗試對衍生品定價，也可以創建一個稱為“風險中性機率測度”的數學對象，只需假設模型中沒有套利。
(ii)然後我想證明，通過複製衍生品與基礎工具和無風險利率工具的收益來定價衍生品，等同於在風險中性度量下對衍生品收益的預期並對其進行貼現。
(iii)然後我想強調離散模型收斂到著名的連續 Black-Scholes 模型。
第 1 部分：離散單期模型：
我假設今天的股價是 $ S_0 $ , 從現在開始的一個時期, 股票價格可以是 $ S_0 * u=S_u $ 或者 $ S_0 * d=S_d $ ， 和 $ u $ 和 $ d $ 是“向上”和“向下”的乘法因子。我假設無風險利率是 $ r $ .
現在我將執行以下代數操作：
$$ S_0 = \frac{S_0(u-d)}{(u-d)}= \= \frac{1}{e^r}\frac{S_0(u-d)e^r}{(u-d)}= \ =\frac{1}{e^r}\frac{S_0(u-d)e^r+(S_0ud - S_0ud)}{(u-d)}=\= \frac{1}{e^r}\left( \frac{S_0ue^r -(S_0ud)}{u-d} + \frac{-S_0de^r+(S_0ud)}{u-d} \right)=\=\frac{1}{e^r}\left(S_0u \left( \frac{e^r -d}{u-d} \right) + S_0d \left(\frac{u-e^r}{u-d} \right) \right) $$
在不強加一些條件的情況下 $ u $ , $ d $ 和 $ r $ ，可能會有一些套利機會。如果例如 $ e^r>u $ ，我可以做空股票並投資於無風險賬戶，並且在未來兩種狀態下，我都可以以低於無風險收益的價格回購股票。
氣勢磅礴 $ d \leq e^r \leq u $ , 將確保在一期模型中沒有套利。此外，這還將導致以下界限：
$$ 0 \leq \frac{e^r -d}{u-d} \leq 1 $$
$$ 0 \leq \frac{u-e^r}{u-d} \leq 1 $$
此外：
$$ \frac{e^r -d}{u-d} + \frac{u-e^r}{u-d} = 1 $$
讓我們打電話 $ \frac{e^r -d}{u-d}:=p_u $ 和 $ \frac{u-e^r}{u-d}:=p_d $ . 在一個週期模型中，股票上漲和股票下跌是世界上兩種不同的狀態，即這些狀態之間沒有機率意義上的“交集”。所以 $ p_u $ 和 $ p_d $ 在不相交的集合上是相加的，並且它們在零一範圍內，因此在數學上，這些參數有資格作為機率度量。
重寫上面的代數操作 $ p_u $ & $ p_d $ 產生以下結果：
$$ S_0 = \frac{S_u p_u + S_d p_d}{e^r} = \frac{1}{e^r}\mathbb{E} [S_1] $$
還要注意，在上面的整個結構中，我們沒有討論股票上漲或下跌的機率。每個市場參與者都可能有他或她的貝氏世界觀，並分配給股票上漲或下跌的不同機率。但是，由於沒有套利，整個市場都同意風險中性措施。
這也提出了一個有趣的觀點：在我看來，風險中性機率只是“數學對象”意義上的機率。它們實際上並不代表“可能性”，因為我們人類喜歡用它來解釋機率事件。
第 2 部分：定價衍生品：
假設我們要為具有支付功能的股票的衍生品定價 $ V(S_t) $ （可以是前鋒、選項等）。這兩個州的衍生收益將微不足道地為 $ V(S_u) $ 和 $ V(S_d) $ . 我們有兩種狀態，兩種基礎工具：讓我們嘗試在兩種狀態下複製衍生收益（ $ x $ 是股票數量和 $ y $ 是投資於無風險賬戶的金額：我想在兩個州複製衍生品收益 $ x $ 股票和 $ y $ 無風險投資）：
$$ (i) x S_u + ye^r = V(S_u) $$ $$ (ii) x S_d + ye^r = V(S_d) $$
求解給出：
$$ x = \frac{V(S_u)-V(S_d)}{S_0(u-d)} $$
$$ y = \frac{uV(S_d)-dV(S_u)}{(u-d)} \frac{1}{e^r} $$
因此當時的衍生品價格 $ t_0 $ 是個 $ x $ 股票數量 + $ y $ 無風險賬戶投資金額：
$$ V(S_0,t_0) = xS_0 + y1 = \ = \frac{V(S_u)-V(S_d)}{S_0(u-d)}*S_0 + \frac{uV(S_d)-dV(S_u)}{(u-d)} \frac{1}{e^r}*1 $$.
以上評估為：
$$ \frac{1}{e^r}\left(V(S_u) \left( \frac{e^r -d}{u-d} \right) + V(S_d) \left(\frac{u-e^r}{u-d} \right) \right) $$
請注意，我們可以再次編寫 $ \frac{e^r -d}{u-d}:=p_u $ 和 $ \frac{u-e^r}{u-d}:=p_d $ , 其中顯著 $ p_u $ 和 $ p_d $ 與上面第 1 部分中的相同，因此，不必計算複製投資組合權重 $ x $ 和 $ y $ ，衍生品可以定價為：
$$ V(S_0,t_0) = \frac{1}{e^r}\left(V(S_u) p_u + V(S_d) p_d \right) = \ = \frac{1}{e^r} \mathbb{E}[V(S_1,t_1)] $$
希望現在你能明白我的意思：風險中性計量定價技術具有以下特點：
(A) 是模型中無套利假設的結果
(B) 對衍生品收益的期望並將其折現到今天相當於：在每個時間步計算“複製投資組合”權重，並在時間使用這些複製權重對衍生品定價 $ t_0 $ .
第 3 部分：連續時間模型：
擴展一期模型導致多期“二叉樹”離散模型。在多期樹上為衍生品定價需要從終端收益“向後”工作併計算每個節點的複制投資組合收益。或者，更方便的方法是使用終端收益的風險中性期望並將其貼現到“今天”：因為這將產生相同的結果（如上所示），並且我們不必擔心複製投資組合權重。
網上有多篇論文展示了當步數趨於無窮大時二叉樹模型如何收斂到 Black-Scholes 公式 $ \delta t $ 趨向於零（例如 John Hull 的一篇很棒的論文，或者這裡的這篇論文）。這很容易證明並且是一個有趣的練習：它只是有點乏味（代數操作的兩頁紙）。
值得注意的是，股票的複制權重，即 $ x $ , 收斂到 $ N(d_1) $ ，即瞬時期權Delta。
最後，我將提供與 KeSchn 相同的摘要，但添加以下附加評論：
概括
- 風險中性機率度量是由風險規避 (SDF) 和現實世界機率組成的人為度量（同意）（****這裡不同意：不要認為風險厭惡涉及其中。我認為它完全是由假設存在無套利和完備性）。
- 衍生品可以相對於標的資產定價。該套期保值價格可以計算為關於風險中性機率測度（已商定）的預期。等效的鞅度量與套利和完整性的缺失密切相關（同意：我想說它們不僅與這些密切相關，它們是這些的結果）。
- 可以從觀察到的市場數據估計風險中性密度（同意：即兩次區分隱含波動率表面相對於罷工）。風險中性框架將許多不同的衍生品定價方法聯繫起來