這個 SDE 的強解決方案是什麼
我想計算 $E_t[(X_T-K)^+]$，其中 $$dX_t=\frac{3}{X_t}dt+2X_t dW_t$$ 和 $X_0=x$。我不知道這個 SDE 的強大解決方案有多精確。事實上，我使用了 Ito 的引理，但它沒有用。
感謝關注。
注意 \begin{align*} d\left(X_t^2\right) &= 2X_t dX_t + d\langle X, X\rangle_t\ &=(6+4X_t^2)dt + 4X_t^2dW_t, \end {align*} 可以使用具有積分因子的技術來解決。具體來說，請注意 \begin{align*} d\left(e^{4t-4W_t}X_t^2 \right) &= X_t^2 d\left(e^{4t-4W_t}\right) + e^{ 4t-4W_t} d(X_t^2) + \left\langle d\left(e^{4t-4W_t}\right), d(X_t^2) \right\rangle\ &=e^{4t-4W_t }X_t^2(12dt-4dW_t)\ &\quad +e^{4t-4W_t}\left[(6+4X_t^2)dt + 4X_t^2dW_t\right]- 16 e^{4t-4W_t}X_t ^2 dt\ &=6e^{4t-4W_t} dt。\end{align*} 然後 \begin{align*} e^{4t-4W_t}X_t^2 &= x^2+6\int_0^te^{4s-4W_s} ds。\end{align*} 即 \begin{align*} X_t^2 = e^{4W_t-4t}\left(x^2+6\int_0^te^{4s-4W_s} ds \right)。\結束{對齊*}
一般說明。對於 \begin{align*} dY_t = (aY_t+b)dt + (cY_t+d) dW_t, \end{align*} 形式的方程，我們可以應用 $$e^{(- a+\frac{1}{2}c^2)t -cW_t}.$$