什麼工具用於數值求解量化金融中的微分方程？
有很多量化金融模型（例如 Black-Scholes）是根據偏微分方程製定的。量化金融中解決這些方程的標準方法是什麼？人們是否使用一些通用軟體包來求解微分方程（如 Maple、MATLAB 或 Mathematica）？或者，人們是否使用一些針對金融方程式調整的標準包？從頭開始編寫數值方法是否很常見（比如在 C++、Java 或 Python 中）？
除了極不尋常的情況外，金融 PDE 缺乏分析解決方案。使用的數學工具是 Monte Carlo，以及在網格上求解 PDE 的常用工具，幾乎總是以下之一：
- 樹，用於非常簡單的情況
- 顯式有限差分，用於一次性項目或非常具體的案例
- 穩健項目的隱式或 Crank-Nicolson 有限差分
使用的軟體工具通常是 Matlab 或 C，尤其是用於有限差分。通常在 Matlab 或 Python/Numpy 中製作原型，然後轉換為 C 以獲得最終解決方案。
PDE 求解“包”相對未使用，主要是因為它們設置用於處理您在材料應力分析中會遇到的各種邊界條件，而不是您希望在金融中使用的邊界條件。
請注意，您所指的問題，本質上是期權估值問題，可以被認為是解決期望問題。特別是，如果一個期權有歐式行使，那麼它的時間 $ t $ 價值 $ V(t) $ 可以寫
$ E\left[ B(t,T) V(T) \right] $
在哪裡 $ B $ 表示貼現，期望採用隨機微分方程 (SDE) 指定的路徑。在這種情況下，該問題適用於蒙地卡羅積分，它可能很慢，但很容易程式。
使用 Feynman-Kac 定理或套利論據，可以得出 SDE 上這種期望的“伴侶 PDE”。美國運動改變了對更惡劣事物的期望
$ \sup_\tau \left{ E\left[ B(t,T) V(T) \right] \right} $
在哪裡 $ \tau $ 是所有可能的早期鍛煉策略的集合。從這個角度來看，樹和差分方案本質上是“動態規劃”技術，用於同時尋找期權價值和最佳行使策略。蒙地卡羅無法做到這一點（儘管存在諸如 LSMC 之類的動態修改）。
網格方案很難編碼，但通常是處理早期練習的唯一方法。交易所交易的股票期權、百慕大利率掉期、可轉換債券和無數奇特的回報都必須使用它們來處理。
一家大型投資銀行將至少擁有三個專有的怪物 PDE 網格求解器，而且幾乎總是更多。每個都將處理多種選項，但基本類別如下：
- Black-Scholes SDE 上股票期權和其他收益的 Black-Scholes 求解器
- 他們最喜歡的利率模型的求解器，用於處理可贖回債券、百慕大掉期期權等
- 可轉換債券的跳至違約 Black-Scholes 求解器
這些將在功能上有一些重疊，例如 Black-Scholes 求解器和跳轉到預設的 Black-Scholes 都將能夠處理美國行使股權期權。
波動率外來變數或使用諸如隨機波動率之類的模型除了上面的那些之外，還需要他們自己的求解器。