期權價值和預期波動率之間存在完美的線性關係背後的直覺是什麼？

我使用 BS 模型對不同波動水平的期權價格進行建模。令人驚訝的是，我得出了一個完美的線性關係。隨著波動率的上升，預期的期權價值也會上升。但我不明白它背後的直覺是線性關係。

正如 Frido Rolloos 所說，情況並非如此。讓我建議三種方法來確認這一點：

1. 查看 Black-Scholes 公式（來自維基百科）： $$ C(S, t) = N(d_1)S_t - N(d_2)PV(K) $$ 在哪裡 $ d_1 = \frac{1}{\sigma \sqrt{T-t}}\Big[\ln(S_t/K) + (r + \sigma^2/2)(T-t)\Big] $ , $ d_2 = d_1 - \sigma \sqrt{T-t} $ 和 $ PV(K) = Ke^{-r(T-t)} $ 和 $ N(\cdot) $ 標準正態的累積分佈。這當然看起來不是線性的 $ \sigma $ . 你可以換成 $ N(\cdot) $ 並做一些代數並得出確實不是的結論。
2. 您可以查看 Vega，期權價值相對於波動率的導數，並檢查它是否不依賴於 $ \sigma $ . 如果是這種情況，期權的價值將在波動性中呈線性關係。但是，查找 Vega： $$ \mathcal{V} = S e^{-q (T-t)} N(d_1) \sqrt{T-t}. $$ 我們注意到它取決於 $ N(d_1) $ 這取決於 $ \sigma $ .
3. 我們可以計算一堆選項值並繪製結果：

library(ragtop)
volas <- (1:100)/500
bs <- blackscholes(
 callput = 1, # 1 for calls, -1 for puts
 S0 = 100,
 K = 100,
 r = 0,
 time = 1,
 vola = volas
)
plot(volas, bs$Price)

line(volas, bs$Price) # More about this below.
Call:
line(volas, bs$Price)

Coefficients:
[1]   0.002874  39.836173

嗯，第 1 點和第 2 點呢？這看起來是線性的……這是怎麼回事。讓我們嘗試一些其他參數：

bs <- blackscholes(
 callput = 1,
 S0 = 100,
 K = 120,
 r = 0,
 time = 1,
 vola = volas
)
plot(volas, bs$Price)

這種關係當然不是線性的，但可以在局部呈現線性。另請參閱此答案以了解不同的情節或使用上面的 R 程式碼。

Kevin 指出了ATM 看漲期權 的一個有用的近似值：$$ C(S, t) = \frac{2}{5}Se^{-rT}\sigma\sqrt{T} $$ 這確實是線性的 $ \sigma $ . 請注意，使用 Rline()函式找到的係數與 $ 0.4S $ 在公式。

總之，這種關係不是完全線性的，但在某些情況下接近線性。我對 ATM 期權線性行為的直覺是 $ S_T $ 與波動性大致呈線性關係。因此，貨幣部分的預期值也是近似線性的。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/61860