為什麼布萊克-斯科爾斯不在離散時間工作？
我有一個考慮離散時間金融市場的問題。
離散時間的主要定理之一如下。在交易時間為 t={1,…,T} 的有限離散時間中，以下是等價的：
- 市場 $ (S,\mathbb{F}) $ 是完整的，即每個 $ F_T $ - 可測量的隨機變數 $ U $ 是可複制的
並且 2. 正好有一個等價的鞅測度。
現在，如果我定義以下框架（簡稱：離散時間的布萊克斯科爾斯），我似乎會遇到矛盾：
假設我們在 Black-Scholes 框架中，但我們將該模型視為具有（大量簡化）兩個交易日期的離散時間模型 $ t=0 $ 和 $ t=1 $ . （折現）股票價格表示為 $ S_t $ . $ S_0 $ 是恆定的並且對於 $ T=1 $ $$ S_T=\exp((\mu-r-1/2\sigma^2)T-\sigma W_t). $$過濾 $ \mathbb{F}=(F_t)_{t=0,1} $ 是自然的。
很明顯，在這個框架中只有一個等價的鞅測度，即 $ \mu=r $ . 應用上述定理，該股票 S 的看漲期權應該是可複制的（僅在一個交易日內，即從 $ t=0 $ 到 $ T=1 $ )
現在這在我看來非常可疑，我真的不知道問題出在哪裡……歡迎任何幫助！！！！
離散時間模型僅適用於具有離散資產價值的無套利土地。此外，每個時間步允許的資產價值數量受到可用證券數量的限制。
樹就是這方面的經典例子。二叉樹“有效”，但如果你製作一步三叉樹，你會發現你不能再從期權及其底層證券形成一個無風險的投資組合。
（當然，作為一種數值求解 PDE 的方法，三叉樹仍然可以。）
幾何布朗運動隨機微分方程解的精確離散化
讓 $ P_{t} $ 代表標的物市場價格的時間序列， $ \mu $ 是它的平均連續對數回報， $ \sigma $ 是它的瞬時波動率和 $ W_{t} $ 是一個維納過程。
這是幾何布朗運動的隨機微分方程：
$$ \frac{dP_{t}}{P_{t}}=\mu dt+\sigma dW_{t} $$ 這是方程的精確解：
$$ \ln\left(\frac{P_{t}}{P_{0}}\right)=\left(\mu-\frac{\sigma^{2}}{2}\right)t+\sigma W_{t} $$ 該解在一個小但有限的區間上的離散化 $ \delta $ 由以下給出：
$$ \ln\left(\frac{P_{t+\delta}}{P_{t}}\right)=\left(\mu-\frac{\sigma^{2}}{2}\right)\delta+\sigma W_{t} $$ 在哪裡 $ W_{t} $ 相當於標準正態變數 $ Z_{t} $ 乘以時間間隔的平方根 $ \delta $ ， 以便 $ W_{t}=Z_{t}\sqrt{\delta} $ .
如果到期時間是 $ T $ ，時間間隔對應的時間步數 $ \delta $ 是（誰）給的 $ n=\frac{T}{\delta} $ . 因此，
$$ \ln\left(\frac{P_{T}}{P_{0}}\right)=\left(\mu-\frac{\sigma^{2}}{2}\right)T+\sigma\sqrt{\delta}\sum_{k=1}^{n}Z_{k} $$ 進行模擬時，路徑由上述公式表示，但是該公式的實例與要模擬的路徑一樣多，因此即使公式的確定性部分在路徑之間是相同的，隨機公式的一部分， $ Z_{k} $ ，必須為公式的每個實例重新生成，以便生成模擬標準正態隨機數的 n 倍，以便每次模擬生成一條路徑。當然，模擬路徑的數量越多，路徑越小 $ \delta $ ，模擬的結果越真實。