為什麼幾何布朗運動定義為 $ S(t) = e^{\alpha + \beta t + \sigma W(t)} $ 用作股票價格的模型？ $ S(t) $ 具有右偏的對數正態分佈。另一個問題是，雖然這不能變為負數，但它也不能改變趨勢——總是上升到無窮大或下降到零。即使是簡單的隨機遊走也會生成更類似於（人眼）實際價格行為圖的圖。

我們不模擬價格，我們模擬回報。

股票價格沒有明確建模為對數正態，而是用於描述回報的實際模型的結果。Black-Scholes 模型中使用的模型的核心是假設價格變化的幾何布朗運動 $ S_t $ 在一些小的時間增量上 $ \mathrm{d}t $ 回報被建模為 $$ \begin{equation} \frac{\mathrm{d}S}{S} = \mu \mathrm{d}t + \sigma \mathrm{d}W_t \end{equation} $$ 這裡的關鍵思想是我們假設市場中沒有歷史或記憶，這些歷史或記憶尚未計入目前價格（因此形成馬爾可夫過程）。假設這是一個幾何布朗運動只是一個很好的數學假設，領先順序並不是那麼糟糕。大多數情況下它工作得很好，但當它試圖捕捉更極端行為的良好描述時就不是很好，因為與市場數據相比，它低估了尾巴。

偏斜和積極性不是問題

在描述股票時，價格過程嚴格為正且從未達到零的事實實際上是可取的，因為這是非常實際的。存在正偏差的事實只是由此產生的結果，這並不是真正的問題，特別是如果這與市場數據相匹配。

同樣，該過程始終是有限的，並且不會射向無窮大，這也是可取的。

我想你在這裡有些困惑。對過程進行折現（即通貨膨脹校正），然後該過程由維納過程驅動 $ W_t $ ，它是有限的，是一個鞅過程，上升的可能性和下降的可能性一樣（參見反射原理）。我認為，如果您對布朗運動進行一些閱讀，您會看到這一點。

不要用眼睛來判斷模型！

即使是簡單的隨機遊走也會生成更類似於（人眼）實際價格行為圖的圖

我完全不同意這一點，主要基於這樣一個事實，即定量模型永遠不應該通過肉眼評估或與數據進行比較。如果您想科學地評估兩個模型，您想比較它們的預測質量，例如：

• 這些過程在統計意義上的匹配程度如何？它們是否具有相同的均值、變異數、偏斜、峰度等？
• 如果我使用我的模型對過程中的選項進行定價，那麼價格與市場上的價格匹配程度如何。（請注意，大多數模型實際上並未用於定價，而是用於對沖）。
• 我的模型有哪些極端情況？它們是否意味著回歸，它們是否預測負值，它們是否具有反射邊界等？其中一些在數學上是可取的，而另一些在物理/經濟上是可取的。
• 我的模型是因果的、適應的、固定的、可逆的等嗎（這些模型出現了幾個離散的時間序列模型）。

要從統計上評估模型，一個很好的起點是檢查殘差，以及它們是否看起來像白雜訊。如果是這樣，這是一個好的開始，如果不是，那麼模型可能還有改進的空間。這些類型的模型評估是不可能用肉眼完成的。一個看起來很棒的簡單模型是 $ S_{t+1} = S_t $ ，並且很可能無法通過肉眼與稍微複雜的 $ \text{ARMA}(p,q) $ 模型，但前者對大多數事情都毫無用處，而後者則不然。

如果您希望模型適應，請使用更複雜的模型

價格過程的幾何布朗運動模型非常簡單。其原因是因為它是最簡單的模型，最初被認為產生了一些有趣的財務洞察力。它允許對沖以及衍生品和各種期權的定價。但是，它非常簡單並且不適應。其他一些具有不同程度自適應行為的模型可能包括：

• Ornstein-Uhlenbeck (OU) 模型是均值回歸模型，在利率中很受歡迎。
• Cox-Ingersol-Ross (CIR) 模型再次回歸均值，但具有可變的波動性（也許您可以稱之為改變趨勢）。它還可以根據 Feller 條件在邊界處具有不同的行為。
• Heston 模型模擬波動過程。
• SABR 模型甚至可以預測負利率（許多人認為這不可能發生，但近年來已經多次發生）。

我在這裡只命名了幾個模型，但是在模型的“真實性”與其分析易處理性之間存在權衡。我們通常會喜歡更簡單的東西，因為我們可以用簡單的模型做有用的事情。擁有無法模擬也無法用於做出預測的複雜模型是沒有用的。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/53300