為什麼局部波動率模型低估了雙重無接觸期權的價格
通過閱讀第 2 點和第 3 點的這個很好的答案，表明局部波動率模型不適用於價格障礙雙重無接觸期權。但我不明白為什麼。您能否提供更詳細的解釋？
在同一連結中，有人指出局部波動率模型低估了雙重無接觸期權的價格。不過，我看到局部波動率模型的波動率較低，因此全球波動率較低。那是對的嗎？如果是，鑑於雙重不接觸期權是 vega 空頭，局部波動率應該高估雙重不接觸期權的價格嗎？
我現在只是在打電話，所以很難充實一個解釋它的答案，但我會試一試。它最終成為一個更直覺的解釋，希望它有所幫助。
在局部波動率模型下，您擁有局部波動率表面和一條蜿蜒穿過它的路徑。該路徑的實際波動率將是一個隨機數，但該數字的期望值將是 LV 表面上的路徑積分（我們實際上需要變異數表面上的路徑積分，因為它是加法量）：
$$ \mathbb{E}\left[\sigma_{\mathrm{path}}\right] = \frac{\sqrt{\int_0^t \sigma_\mathrm{local}^2(P(\tau), \tau ) \mathrm{d}\tau} } {t} $$
現在，您會注意到我已經寫過這是對路徑已實現波動性的預期，並且它也取決於特定路徑。這是因為路徑遇到的實際波動取決於 $ \mathrm{d}W $ 那個隨機司機吐了出來。所有隨機數都為零是合理的（但不太可能），在這種情況下，該特定路徑的實際波動率將非常低（它不太可能發生）。因此，我們最終得到了已實現波動率的分佈，其中有兩個因素決定它：
- 路徑本身的隨機性，以及
- 局部 vol 表面的形狀（平坦的表面將消除第一個效應，而非常傾斜/凸面的表面會增加它，因為您正在對大範圍的不同局部波動性進行積分）。
所以我們在這裡要說的是，我們實際上確實從本地捲中的每條路徑中獲得了隨機實現的波動性。但重要的是我們無法真正控制它，即我們無法控制已實現波動率的分佈*。這是重要的一點。如果您要定價的導數對路徑的波動性具有（n 近似）線性依賴性，那麼根據預期的線性，分佈無關緊要，只有期望。另一方面，如果它確實很重要，那麼您需要能夠控制該屬性以便正確定價。這種控制是隨機波動率模型給你的東西之一。
如果您的產品與 vol 的 vol 有關聯，那麼 LV 不一定會低估它的價格，因為上述現象會導致無意的隨機波動路徑。你只是無法控制它。
所以回到 DNT 問題，想想 dnt 在零波動性時的價值：它是 100%（假設漂移不會把我們踢出去）。當您緩慢增加波動性時，預期收益的分佈會擴大，但首先停留在兩個障礙內 - 價值保持在 100%。在某個時刻，分佈開始突破障礙，dnt 的 TV 開始向下彎曲。隨著我們繼續增加 vol，該值接近於零（因為 KO 幾乎可以確定），但是一旦您達到更高的 vol，越來越多地增加它們會產生遞減的效果 - 即您有一個 tv(vol) 函式，看起來像這個：
它在某個點上是凹的，然後變成凸的。轉換發生的確切位置取決於障礙、總體波動水平和成熟時間。卷中凹的地方是卷的短卷，凸的地方是卷的長卷。但一般來說，它們的結構會使其位於凸區，因為通常購買這些產品的人希望為它們支付 10% 左右的價格。我們知道乘積在物質中是線性的，我們知道 f(x) 的期望與 f(E(x)) 相同，我們也知道函式是凹的還是凸的，我們需要正確模擬該物質的分佈以便對其進行整合**。因此，說本地 vol 價格過低是無接觸產品的兩倍是不准確的。
另一件需要考慮的事情是，該模型可能會吐出 7% 的價值，然後交易台上的交易員會互相交談，並決定他們不可能以 7% 的價格出售它，如果它的吸引力可能會很高興以 10% 的價格購買它，然後顯示 10/20 的出價/出價。
*您實際上可以作弊，想像創建兩個局部 vol 表面，一個在一般級別 10，另一個在 30，然後將它們拼接在一起（例如，每隔 0.0000001 或其他少量，您在表面之間切換一和表面二），現在每次你去從 LV 表面獲取 vol，你會隨機採樣一個或另一個。您現在將得到兩個用於 vol 路徑的分佈。您可以將其擴展到盡可能多的地下，使您能夠使用逆 cdf建構您想要的任何已實現體積分佈您可以將其打包數千次，使您能夠定義 LV 表面中的每次撞擊分佈和時間。然而，這完全是一種技巧，雖然它可以讓你控制已實現波動率的最終分佈，但它並不能讓你控制波動率的動態，這可能對你的衍生品很重要，也可能無關緊要——儘管它們通常會這樣做，因為它通常不是您關心的 vol 卷，而是通常在障礙突破和其他東西之後的條件波動。
**這是一種簡化，如上面的星號所述，它通常是隨機的條件波動方面。您真正關心的 Vol 模型，而不僅僅是路徑的終端分佈。然而，這仍然是值得考慮的事情。
