如何理解無看漲期權或看跌期權套利條件

書上Advanced Equity Derivatives Volatility and Correlation page 22說

為了排除套利，我們至少必須要求：

1. 無看漲或看跌套利： $ \dfrac{\partial c}{\partial K}\leq 0,\ \dfrac{\partial p}{\partial K}\geq 0. $
2. 無蝶式套利： $ \dfrac{\partial^2 c}{\partial K^2}\geq 0,\ \dfrac{\partial^2 p}{\partial K^2}\leq 0. $
3. 無日曆套利： $ \dfrac{\partial c}{\partial T}\geq 0,\ \dfrac{\partial p}{\partial T}\geq 0. $

我知道 $ \dfrac{\partial c}{\partial K},\dfrac{\partial^2 c}{\partial K^2},\dfrac{\partial c}{\partial T} $ 是它們對應的期權策略的局限性，但為什麼 $ \leq 0 $ 和 $ \geq 0 $ 能代表不套利的充分條件嗎？

為了論證，讓我們關注歐式看漲期權。假設確定性利率以保持符號整潔。定義 $ \Bbb{Q} $ 作為與貨幣市場計價相關的機率測度 $ B_t $ .

$$ C(K,T) = \frac{1}{B_T} \Bbb{E}^\Bbb{Q} \left[ (S_T-K)^+ \right] = \frac{1}{B_T} \int_K^\infty (S - K) q(S) dS $$ 從何而來（萊布尼茨規則） $$ \frac{\partial C}{\partial K}(K,T) = - \frac{1}{B_T} \int_K^\infty q(S) dS = -\frac{1}{B_T}\Bbb{Q}(S_T \geq K) $$ 自從 $ B_T $ 是一個 numéraire（始終具有正值的交易資產），並且因為根據機率的定義 $$ \Bbb{Q}(\omega) \geq 0 , \forall \omega \in \Omega $$ 由此產生的無靜態套利條件確實是 $ \frac{\partial C}{\partial K}(K,T) \leq 0 $ 相似地，

$$ \frac{\partial^2 C}{\partial K^2}(K,T) = \frac{1}{B_T}q(K) $$ 其中同樣的論點適用於 $ B_T $ 再一次根據pdf的定義 $$ q(\cdot) \geq 0 $$ 所以我們得到 $ \frac{\partial^2 C}{\partial K^2}(K,T) \geq 0 $ 如您所見，弱不等式直接來自 cdf 和 pdf 的積極性

就日曆套利而言，你寫的關係適用於美式期權，是後者定義的直接結果

$$ C^{AM}(K,T) = \sup_{\tau \in [0,T]} \Bbb{E}^\Bbb{Q} \left[ \frac{1}{B_\tau}(S_{\tau} - K)^+ \right] $$ 在哪裡 $ \tau $ 是一個停止時間，顯然 $$ \sup_{\tau \in [0,T_2]} \Bbb{E}^\Bbb{Q} \left[ \frac{1}{B_\tau}(S_{\tau} - K)^+ \right] \geq \sup_{\tau \in [0,T_1]} \Bbb{E}^\Bbb{Q} \left[ \frac{1}{B_\tau}(S_{\tau} - K)^+ \right] $$ 對於任何 $ T_2 \geq T_1 $ . 但是，由於缺少歐洲期權的日曆套利，您也有類似的不平等，請參閱此相關問題以獲取更多資訊。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/36703