期權
計算隱含波動率的簡單公式？
我們都知道，如果您退出 Black Scholes 期權定價模型，您可以得出該期權對標的未來預期波動性的“暗示”。
是否有推導隱含波動率 (IV) 的簡單、封閉形式的公式？如果是這樣，您能指導我了解方程式嗎？
還是 IV 僅在數值上求解？
Brenner 和 Subrahmanyam (1988)提供了 IV 的封閉式估計，您可以將其用作初始估計：
$$ \sigma \approx \sqrt{\cfrac{2\pi}{T}} . \cfrac{C}{S} $$
Black-Scholes 期權定價模型提供了一個封閉式定價公式 $ BS(\sigma) $ 對於一個帶有價格的歐式期權 $ P $ . 它沒有封閉形式的逆，但因為它有一個封閉形式的 vega（波動率導數） $ \nu(\sigma) $ ，並且導數是非負的，我們可以放心地使用 Newton-Raphson 公式。
本質上，我們選擇一個起始值 $ \sigma_0 $ 從 yoonkwon 的文章中說。然後，我們迭代
$$ \sigma_{n+1} = \sigma_n - \frac{BS(\sigma_n)-P}{\nu(\sigma_n)} $$
直到我們得到一個足夠準確的解。
這僅適用於 Black-Scholes 模型具有封閉形式解決方案和良好 vega 的選項。當它不存在時，至於奇異的收益、美式期權等，我們需要一種不依賴於 vega 的更穩定的技術。
在這些更困難的情況下，通常應用帶有二等分邊界檢查的正割方法。一個受歡迎的算法是布倫特的方法，因為它是普遍可用的並且相當快。