離散時間的套利機會
假設我們有以下二元選項 $ B $ 資產 $ S $ 在行使價 K 和到期時間 T 的情況下，還假設以下關係在時間成立 $ 0 $ :
$ B > NC(K,T)-NC(K+1/N,T) $
在哪裡 $ N $ 是一個自然數並且 $ C(K,T) $ 是資產的看漲期權 $ S $ 行使價 K 和到期時間 T
假設我們可以在任何罷工時購買看漲期權，在這種情況下如何找到套利策略？
我們假設不等式由下式給出
$$ \begin{align*} B > N C(K-1/N, T) - N C(K, T).\tag{1} \end{align*} $$ 不等式的論證 $$ \begin{align*} B < N C(K, T) - N C(K+1/N, T) \end{align*} $$ 很相似。 $$ $$ 對於二元期權， $$ \begin{align*} \pmb{1}{{S_T \ge K}} = \begin{cases} 1, & \textrm{if } S_T \ge K,\ 0, & \textrm{otherwise}, \end{cases} \end{align*} $$ 而對於有回報的投資組合 $$ \begin{align*} X_T &= N\bigg[S_T-\Big(K-\frac{1}{N}\Big)\bigg]^+ - N (S_T-K)^+\ &= \begin{cases} 1, & \textrm{if } S_T \ge K,\ N\bigg[S_T-\Big(K-\frac{1}{N}\Big)\bigg], & \textrm{if } K-\frac{1}{N} \le S_T \le K,\ 0, & \textrm{otherwise}. \end{cases} \end{align*} $$ 那麼，很明顯 $$ \begin{align*} \pmb{1}{{S_T \ge K}} \le X_T,\tag{2} \end{align*} $$ 因此， $$ \begin{align*} B \le N C(K-1/N, T) -N C(K, T). \end{align*} $$ $$ $$ 然而，如果 (1) 成立，我們可以做空二元期權，做空 $ N $ 有罷工的單位看漲期權 $ K $ , 和長 $ N $ 有罷工的單位看漲期權 $ K-1/N $ . 我們有淨利潤 $$ \begin{align*} B - \big[N C(K-1/N, T) - N C(K, T)\big]. \end{align*} $$ 此外，在成熟時 $ T $ ，我們有投資組合收益 $$ \begin{align*} X_T - \pmb{1}_{{S_T \ge K}} \ge 0, \end{align*} $$ 根據上述（2）。