套利機會面試題
我在幾個地方看到過這個面試問題：
市場上有三種看漲期權，到期日相同，行權價分別為 10、20 和 30。假設行權價為 10 的看漲期權價格為12 美元，行權價為 20 的看漲期權價格為 7 美元，行權價為 20美元的看漲期權30元1元。有套利機會嗎？
答案顯然是買入兩個價格為 20美元的看漲期權，並賣出一個價格為10 美元和30 美元的看漲期權。
一個人是如何得出這個答案的，它是獨一無二的嗎？
謝謝。
在這個問題中討論了看跌期權的類似問題：在兩個看跌期權中找到套利。基本上，看漲期權的收益是罷工的凸函式。那麼看漲期權價格也是行使價的凸函式。具體來說，讓 $ C(K) $ 表示有行使價的看漲期權價格 $ K $ . 那麼對於 $ 0 < K_1 < K_2 $ ,
$$ \begin{align*} C\left(\frac{K_1 + K_2}{2}\right) \le \frac{1}{2}\big(C(K_1) + C(K_2) \big). \end{align*} $$ 例如，讓 $ K_1 = 10 $ 和 $ K_2 = 30 $ . 然後
$$ \begin{align*} C(20) &= C\left(\frac{K_1 + K_2}{2}\right)\ &\le \frac{1}{2}\big(C(K_1) + C(K_2) \big)\ &= \frac{1}{2} (12 + 1) = 6.5. \end{align*} $$ 然而， $ C(20) = 7 $ ，與上述矛盾。因此，存在套利機會。 對於套利策略，我們應該做空（即賣出）定價過高的期權，做多（即買入）定價過低的期權。具體來說，我們做空兩個行使價為 20 的期權，做多一個行使價為 10 的期權，做多另一個行使價為 30 的期權。開始時，我們有利潤
$$ \begin{align*} 2 \times 7 - 12 - 1 = 1 $. \end{align*} $$ 在期權到期時，我們的收益是 $$ \begin{align*} (S_T-10)^+ + (S_T-30)^+ - 2 (S_T-20)^+ = \begin{cases} 0, & \mbox{if } S_T \leq 10,\ S_T-10, & \mbox{if } 10 \le S_T \le 20, \ 30-S_T, & \mbox{if } 20\le S_T \le 30,\ 0 , & \mbox{if } S_T \ge 30, \end{cases} \end{align*} $$ 這總是非負的。然後，我們在開始時獲得保證利潤，並在期權到期時獲得潛在的進一步利潤，同時沒有任何負債。