BS 模型中的二元期權 - 技術問題
我想在 Black-Scholes 模型中為二元期權定價。
回報的形式是[數學處理錯誤] $ f(S_{T})=I_{{S_{T}-K>0}} $ .
如果我們假設 $ t=0 $ 這很容易，因為我們有
[數學處理錯誤] $ C_{0}=\mathbb{E}^{}\left[e^{-rT}I_{{S_{T}-K>0}}|F_{0}\right]=e^{-rT}\mathbb{E}^{}\left[I_{{S_{T}-K>0}}\right]=e^{-rT}Q(S_{T}>K)=\ldots $
但是如何隨時得出價格 $ t\in[0,T] $ ?
對於任何 $ t\in[0,T] $ 我們有這樣的事情：
[Math Processing Error] $ C_{t}=\mathbb{E}^{}\left[e^{-r(T-t)}I_{{S_{T}-K>0}}|F_{t}\right]=e^{-r(T-t)}\mathbb{E}^{}\left[I_{{S_{T}-K>0}}|F_{t}\right]=? $
如何計算[Math Processing Error] $ \mathbb{E}^{*}\left[I_{{S_{T}-K>0}}|F_{t}\right] $ ?
我的嘗試：
[Math Processing Error] $ S_{T}=S_{t}e^{(r-\frac{1}{2}\sigma^{2})(T-t)+\sigma(W^{}_{T}-W^{}_{t})} $
我知道[Math Processing Error] $ W^{}_{T}-W^{}{t} $ 是獨立於[Math Processing Error] $ F{t} $ （由布朗運動生成）。
做[Math Processing Error] $ I_{{S_{T}-K>0}} $ 是獨立於[Math Processing Error] $ F_{t} $ ? 為什麼（如果是）？
如是[Math Processing Error] $ \mathbb{E}^{}\left[I_{{S_{T}-K>0}}|F_{t}\right]=\mathbb{E}^{}\left[I_{{S_{T}-K>0}}\right]=Q(S_{T}-K>0)=\ldots $
[Math Processing Error] $ I_{{S_{T}-K>0}} $ 不獨立於[Math Processing Error] $ \mathcal{F}_{t} $ ， 自從
[Math Processing Error]$$ \begin{align*} S_T=S_t , e^{(r-\frac{1}{2}\sigma^2)(T-t) + \sigma (W_T^-W_t^)}, \end{align*} $$ 在哪裡[Math Processing Error] $ S_t \in \mathcal{F}t $ ， 儘管[Math Processing Error] $ e^{(r-\frac{1}{2}\sigma^2)(T-t) + \sigma (W_T^-W_t^)} $ 獨立於[Math Processing Error] $ \mathcal{F}t $ . 然而，由於 $ W_T^-W_t^ $ 獨立於[Math Processing Error] $ \mathcal{F}t $ , 你可以計算 [Math Processing Error]$$ \begin{align*} \mathbb{E}^{*}\left(I{{S{T}-K>0}}|F{t}\right) &= Q(S_{T}-K>0 \mid \mathcal{F}_t)\ &=Q\left(\sigma (W_T^-W_t^) \ge \ln\frac{K}{S_t} -(r-\frac{1}{2}\sigma^2)(T-t) \mid \mathcal{F}_t\right)\ &=Q\left(\frac{W_T^-W_t^}{\sqrt{T-t}} \ge \frac{\ln\frac{K}{S_t} -(r-\frac{1}{2}\sigma^2)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}} \mid \mathcal{F}_t\right)\ &=1-N\left( \frac{\ln\frac{K}{S_t} -(r-\frac{1}{2}\sigma^2)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}}\right)\ &=N(d_2), \end{align*} $$ 自從 $ \frac{W_T^-W_t^}{\sqrt{T-t}}\sim N(0, 1) $ 獨立於 $ \mathcal{F}_t $ ， 儘管 $ \frac{\ln\frac{K}{S_t} -(r-\frac{1}{2}\sigma^2)(T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}} $ 是 $ \mathcal{F}_t $ 可衡量的。這裡， $$ d_2 = \frac{\ln\frac{S_t}{K} + (r-\frac{1}{2}\sigma^2) (T-t)}{\sigma \sqrt{T-t}} $$