二項式模型和 delta 對沖
我有一個關於理論的問題，這可能是一個單行的答案。我曾經理解它，但我現在被困住了。
在二項式模型中，我們將價格的進展定義為：
$$ S_k = S_{k-1} e^{\alpha X_k} $$
在哪裡 $ P(X_k = 1) = p $ 和 $ P(X_k = -1) = 1-p = q $
現在，要確定 $ \alpha $ 和 $ p $ 使用 delta 對沖參數（而不是風險中性），我們定義了一個小的時間增量 $ h $ 並且有時 $ t_{n-1} = (n-1)h $ 投資組合 $ \Pi $
$$ \Pi_{n-1} = f(S_{n-1}, t_{n-1}) - \Delta_{n-1} S_{n-1} $$
在哪裡 $ S_t $ 是資產價格和 $ f(S_t, t) $ 是支出。確定 $ \alpha $ 和 $ p $ 我們選擇 $ \Delta_{n-1} $ 以至於進化 $ \Pi_{n-1} $ 是確定性的。我的講義定義 $ \Pi_n $ 在 $ t=nh $ 像這樣
$$ \Pi_n = f(S_{n}, t_{n}) - \Delta_{n-1} S_{n} $$
代替 $ S_k = S_{k-1} e^{\alpha X_k} $
$$ \Pi_n = f(S_{n-1} e^{\alpha X_n}, t_{n}) - \Delta_{n-1} S_{n-1} e^{\alpha X_n} $$
然後我們計算 $ \Delta_{n-1} $ 以便 $ \Pi_n $ 是確定性的等等。
我不明白的是為什麼我們有 $ \Delta_{n-1} $ 在公式中 $ \Pi_n $ ? 不應該是公式 $ \Pi_n $ 是：
$$ \Pi_n = f(S_{n}, t_{n}) - \Delta_{n} S_{n} $$
假設只有兩個時期：n 時的收益和溢價/價格 $ n-2 $ .
我們知道目前的股價，比如說 $ S_{n-2} $ ，我們知道在下一個時代，它要麼是： $ S_{n-1}^u=uS_{n-2} $ （向上狀態），或 $ S_{n-1}^d=dS_{n-2} $ （下狀態）。我們需要在時代做出決定 $ n-2 $ 關於買入或賣出多少單位的股票來對沖期權，並假設我們決定買入 $ \Delta_{n-2} $ 庫存單位。
然後我們稍等片刻，以找出真正的自然狀態。價格上漲：我們的股票值得 $ \Delta_{n-2} S_{n-1}^u $ . 價格下跌：我們的股票值得 $ \Delta_{n-2} S_{n-1}^d $ . 所以希望對沖有效，我們需要為下一步做準備，所以我們重新平衡投資組合，這意味著決定 $ n-1 $ 持有多少單位的股票， $ \Delta_{n-1} $ , 以對沖期權頭寸以防止下一步行動。
所以一個班輪可能是：我們決定在 $ n-1 $ 買入/賣出多少單位的股票來對沖股價的下一次上漲/下跌。
不像 $ S $ 和 $ f $ 由你無法控制的市場驅動， $ \Delta $ 是股票數量 $ S $ 您已決定在上一個時間步中為該投資組合做空 $ \Pi $ . 它不是一個內在的時間依賴量。因此，它當然會保持不變，直到您決定在下一個時間步驟中更改或不更改它。