布萊克和斯科爾斯期權定價

我必須解決布萊克和斯科爾斯模型中的以下問題：在anty找到價格 $ t\in[0,T) $ 對於到期收益為的期權： $$ \begin{equation} 0 \ \ \ \text{if} \ S_T<K_1\ K_2-S_T \ \ \ \text{if} \ K_1<S_T<K_2\ K_2-K_1 \ \ \ \text{if} \ K_2< S_T \end{equation} $$

解決方案 我將收益改寫為： $$ \begin{equation} Payoff_T=(K_2-S_T)\textbf{1}{{K_1<S_T<K_2}}+(K_2-K_1)\textbf{1}{{S_T>K_2}} \end{equation} $$ 自從 $ S $ 在鞅測度下演化 $ \mathbb{Q} $ 作為幾何布朗運動 whit 動態： $$ \begin{equation} S_t=S_se^{(R-\frac{\sigma^2}{2})(t-s)+\sigma Y\sqrt{t-s}} \end{equation} $$ 在哪裡 $ Y\sim N(0,1) $ 然後我想計算哪些值 $ Y $ ： $$ \begin{equation} K_1<S_T\Rightarrow K_1< S_te^{(R-\frac{\sigma^2}{2})(T-t)+\sigma Y\sqrt{T-t}}\Rightarrow\dfrac{K_1}{S_t}e^{-(R-\frac{\sigma^2}{2})(T-t)}<e^{\sigma Y\sqrt{T-t}}\ \Rightarrow y_1=\dfrac{\ln(\frac{K_1}{S_t})-(R-\frac{\sigma^2}{2})(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}<Y \end{equation} $$ 同樣我得到： $$ \begin{equation} S_T<K_2\Rightarrow Y<\dfrac{\ln(\frac{K_2}{S_t})-(R-\frac{\sigma^2}{2})(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}}=y_2 \end{equation} $$ 現在應用 B 中的價格公式 $ &amp; $ S市場： $$ \begin{equation} price_t=e^{-R(T-t)}E^{\mathbb{Q}}(Payoff_T|\mathcal{F}t)\ =e^{-R(T-t)}\bigg(\int{y_1}^{y_2}(K_2-S_te^{(R-\frac{\sigma^2}{2})(T-t)+\sigma y\sqrt{T-t}})\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-y^2/2}dy+\int_{y_2}^{\infty}(K_2-K_1)\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-y^2/2}dy\bigg) \end{equation} $$ 現在我省略了這個積分的計算（不難），我有最後的公式，我用 $ \Phi(x)=P(X\leq x) $ 和 $ X\sim N(0,1) $ ： $$ \begin{equation} price_t=e^{-R(T-t)}(K_2-K_1)(1-\Phi(y_2))+K_2e^{-R(T-t)}(\Phi(y_2)-\Phi(y_1))-S_t(\Phi(y_2-\sigma\sqrt{T-t})-\Phi(y_1-\sigma\sqrt{T-t})) \end{equation} $$ 在這一點上，我的問題是：

1. 這個計算好嗎？
2. 由於練習的第二個問題是計算合約的 delta（衍生工具為基礎 S），是否可以根據我知道 delta 的明確表達的看漲/看跌期權來表達收益？

讓我們從考慮熊價差策略開始，包括多頭帶行權的歐式看跌期權 $ K_2 $ 並做空另一個帶有執行權的歐式看跌期權 $ K_1 $ . 那麼這個投資組合在到期時的收益 $ T $ 是： $$ \begin{align} &(K_2-S_T)\textbf{1}{{S_T\leq K_2}}-(K_1-S_T)\textbf{1}{{S_T\leq K_1}} \ &\qquad=(K_2-S_T)\left(\textbf{1}{{K_1< S_T\leq K_2}}+\textbf{1}{{S_T\leq K_1}}\right) -(K_1-S_T)\textbf{1}{{S_T\leq K_1}} \ &\qquad=(K_2-S_T)\textbf{1}{{K_1< S_T\leq K_2}} +((K_2-S_T)-(K_1-S_T))\textbf{1}{{S_T\leq K_1}} \ &\qquad=(K_2-S_T)\textbf{1}{{K_1< S_T\leq K_2}} +(K_2-K_1)\textbf{1}{{S_T\leq K_1}} \end{align} $$ 我們已經在您的回報中匹配了第一個術語。為了匹配你的第二個，我們實際上需要減去 $ (K_2-K_1)\textbf{1}{{S_T\leq K_1}} $ 並添加 $ (K_2-K_1)\textbf{1}{{S_T> K_2}} $ ： $$ \begin{align} &(K_2-S_T)\textbf{1}{{K_1< S_T\leq K_2}} +(K_2-K_1)\textbf{1}{{S_T\leq K_1}} -(K_2-K_1)\textbf{1}{{S_T\leq K_1}} +(K_2-K_1)\textbf{1}{{S_T> K_2}} \ \qquad&= (K_2-S_T)\textbf{1}{{K_1< S_T\leq K_2}} +(K_2-K_1)\textbf{1}_{{S_T> K_2}} \end{align} $$ 然而，減去的項對應於帶有行使價的無現金看跌期權的收益 $ K_1 $ 和現金回報 $ K_2-K_1 $ ，而增加的期限等於帶有行使價的無現金看漲期權的收益 $ K_2 $ 和相同的現金支付。在 Black-Scholes 模型下，所有這些期權都有已知的價格和希臘字母。

因此，您可以通過將 1) 歐洲香草看跌期權與行使價的 Black-Scholes 價格相加來在 Black-Scholes 設置下為您的收益定價 $ K_2 $ , 和 2) 帶有罷工的歐洲現金或無現金電話 $ K_2 $ 和現金支付 $ C:=K_2-K_1 $ , 你減去兩者的價格 3) 一個帶行使價的歐洲香草看跌期權 $ K_1 $ , 和 4) 歐洲現金或無現金的罷工 $ K_1 $ 和現金支付 $ C $ .

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/71826