三叉樹的 Boyles 模型

我知道波義爾三叉樹模型中的風險中性機率通過重新組合 $ m=1, u.d=1 $ 和 $ u=e^{\lambda\sigma \Delta t} $

$ p_u=\frac{u(V+M^2-M)-(M-1)}{(u^2-1)(u-1)} $

$ p_d=\frac{u^2(V+M^2-M)-u^3(M-1)}{(u^2-1)(u-1)} $

$ p_m=1-p_u-p_d $

在哪裡 $ V=e^{\sigma^2\Delta t} $ 和 $ M=e^{r\Delta t} $

什麼時候 $ \lambda \rightarrow \infty $ 它將如何影響風險中性機率？

請注意，Boyle (1988)介紹了 $ \lambda $ 因為 CRR 參數化 $ u=e^{\sigma\sqrt{h}} $ 為合理的參數值產生負機率（和高於一的機率）。相反，他使用 $ u=e^{\lambda\sigma\sqrt{h}} $ ， 在哪裡 $ \lambda>1 $ 和 $ h=\frac{T}{n} $ 是一個時間步的長度。

如果你執行限制， $ p_u\to0 $ 和 $ p_d\to1-M $ 導致 $ p_2\to M $ 作為 $ \lambda\to\infty $ ， 在哪裡 $ M=e^{rh} $ . 同樣，對於合理的參數值，（即 $ h $ 和 $ r $ 小，下面 $ 1 $ )，機率是非負的，並且以 1 為界。所以一切都很好。

但是，您會注意到不再發生向上跳躍： $ \lambda\to\infty $ 暗示 $ u\to\infty $ 並且股票在一個時期內無限增加的事件確實應該具有零機率。所以真的，在這種極端情況下，三叉樹倒塌成二叉樹。

引用自：https://quant.stackexchange.com/questions/51485