計算歐式看漲期權，Bjork 方式
我們有一個 3 週期二叉樹的值：
59.65 (C33 = 7.65) 56.24 (C22 = ?) 53.03 53.03 (C32 = 1.03) 50 50 (C21 = ?) 47.14 47.14 (C31 = 0) 44.45 (C20 = ?) 41.91 (C30 = 0)W 想計算一個歐式看漲期權，無套利，屬性 K = 52，u = 1.0606，d = 1/u = 0.943，9 週內到期，r = 0.001 每週。看漲期權的價值由下式給出 $ max[S_t -K, 0] $ . 我們可以計算 $ C_2^{2} $ 鑑於文獻中的風險中性公式（Bjork 3ed, 2.1.4）：
$ C_2^{2} = \frac{1}{1+R} (q*C_3^{3} + (1-q)*C_3^{2}) $ , $ \frac{1}{1+R} $ ，由 Bjork 命題 2.6 給出，但由於我們有多個節點，我認為我們需要對其進行折現，這給出了公式 $ e^{r-(T-t)}= e^{0.053348-(9/52)} = 1.009276 $
$ R = 1.001^{52} = 5.3348pct = 0.053348 , $
$ q = \frac{(1+R)-d}{u-d} = \frac{1.009276 - 0.943}{1.0606 - 0.943} = 0.5636 $ ，如果我們將這些值代入公式：
$ C_2^{2} = \frac{1}{1+R} (qC_3^{3} + (1-q)C_3^{2}) = 1.009276(0.56367.65 + 0.4363*1.03) = 4.8051 $ ,
我的問題是：
a) 是 $ C_2^{2} $ 正確的？
b）有沒有更快的方法來計算樹的期權價值，因為這需要很多時間（是的，你可以編寫一個程序，但我遵循理論，我相信我也必須手動學習）。
有沒有更快的方法來計算期權價格？
使用重組二項式樹，終端資產價格具有二項式分佈——正如您可能預期的那樣。對於一棵樹 $ n $ 步數，達到價格的機率 $ S_{n,k} $ 在哪裡 $ k $ 是向上移動的次數是
$$ P_{n,k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}q^k(1-q)^{n-k} $$
期權價格是收益的貼現風險中性期望，
$$ C = \frac{1}{(1+r_s)^n}\sum_{k=0}^n\frac{n!}{k!(n-k)!}q^k(1-q)^{n-k} \max(S_{n,k}-K,0), $$
在哪裡 $ r_s $ 是與單個步驟相關的每個時期的利率。使用此公式可避免在中間步驟向後工作和計算選項值。
在這種情況下，我們有 $ n= 3 $ 和 $ (1+r_s) = (1+0.001)^3 $ （因為每個步驟跨越 3 週）。因此，由於 $ C_{31} = C_{30} = 0 $ ,
$$ C = \frac{1}{(1+r)^9} (1 \cdot q^3 C_{33} + 3 \cdot q^2(1-q) C_{32}) $$
（注意係數 $ 1 $ 第一項的出現是因為有一條路徑通過樹到達節點 $ (3,3) $ 和係數 $ 3 $ 因為第二項的出現是因為通過樹到達節點的路徑有 3 條 $ (3,2) $ .)