看漲和看跌價格等於遠期價格 - 為什麼？
考慮一個歐式看漲期權和看跌期權 $ C_t $ 和 $ P_t $ ，分別在 Black-Scholes 模型下。通過看跌期權平價，
$$ C_t - P_t = S_t - Ke^{-r(T-t)} $$ 到期時間 $ T $ . 注意如果 $ K = S_te^{r(T-t)} $ 我們得到 $$ C_t = P_t. \qquad (1) $$ 當然， $ S_te^{r(T-t)} $ 是時候 $ T $ -當時股票的遠期價格 $ t $ ，這是從無套利論點得出的，而不僅僅是期望。那是， $$ S_te^{r(T-t)} \neq E_P(S_T \mid S_t) = S_te^{\mu(T-t)}, $$ 在哪裡 $ P $ 是物理量度和 $ \mu $ 漂移率。 我看到（1）僅通過看跌期權平價成立，但我正在尋求更深入的理解。是這樣嗎，看漲期權和看跌期權的價格是相等的，因為在風險中性度量下 $ Q $ ，股票的期望值是執行價格（在這種情況下是遠期價格）？那是，
$$ S_te^{r(T-t)} = E_Q(S_T \mid S_t) = K, $$ 因此股票同樣有可能在行使價之上或之下收盤？或者，有沒有更深層次的東西，比如沒有套利的論點？
當然，您必須同意
$$ C_{T}-P_{T}=\left(S_{T}-K\right)^{+}-\left(K-S_{T}\right)^{+}=S_{T}-K. $$ 因此，由於 $$ C_{t}=e^{-r\left(T-t\right)}E_{Q}\left[C_{T}\right]\text{ and }P_{t}=e^{-r\left(T-t\right)}E_{Q}\left[P_{T}\right] $$ 它遵循的線性 $ E $ 那 $$ C_{t}-P_{t}=e^{-r\left(T-t\right)}E_{Q}\left[C_{T}-P_{T}\mid \mathcal{F}{t}\right]=e^{-r\left(T-t\right)}E{Q}\left[S_{T}-K\mid \mathcal{F}{t}\right]=e^{-r\left(T-t\right)}\left(e^{r(T-t)}S{t}-K\right). $$ 接下來是看跌期權平價。
看漲期權平價 $$ C_{T}-P_{T}=\left(S_{T}-K\right)^{+}-\left(K-S_{T}\right)^{+}=S_{T}-K $$ 在任何條件下都會存在，因為它幾乎是一個數學事實。
但是，我認為您的問題的直接答案 $$
K = S_te^{r(T-t)} => C_{t} = P_{t} $$ 是：並非總是如此，但僅在有效市場（即無套利、無摩擦和完全市場）下。當一家非常受歡迎的公司發行第一批股票時，您可以想到一個不那麼罕見的市場情景。市場對該股的預期很高。與看跌期權相比，看漲期權定價過高並不罕見。即使當 $ K = S_te^{r(T-t)} $ ，你可能會發現 $ C_{t} >> P_{t} $ . 這似乎是一個短暫套利的案例，但在陷入困境的股票的情況下考慮相反的情況 - 缺乏流動性可能是那裡的問題。在這些情況下，有效市場假設是無效的。
從根本上說，我認為遠期價格的定義是導致看漲和看跌價格相等的定義，而不是相反，即 $$ C_{t} = P_{t} => K = E\left[S_{T} \right] $$ 這與您的問題相反，但這裡有一個重要的細微差別。
這個遠期價格是某種衡量下資產的預期未來價格。碰巧只有在有效市場假設下，風險中性度量 $ Q $ 可以證明存在，你可以用它來證明這個遠期價格等於預期的未來價格 $ K = E_{Q}\left[S_{T} | S_{t} \right] = S_te^{r(T-t)} $ .
投機者可以定義另一種機率測度 $ P $ 在這之下 $ E_{P}\left[S_{T} | S_{t} \right] > S_te^{r(T-t)} $ . 他將推測在此措施下不同的看漲和看跌價格，但看跌期權平價仍將保持不變。 $$ C_{t}^{P} - P_{t}^{P} = E_{P}\left[(S_{T} - K)^{+}| S_{t}\right] - E_{P}\left[(K - S_{T})^{+} | S_{t}\right] = E_{P}\left[S_{T} | S_{t}\right] - K > 0 $$