看漲期權 Delta
我有一個練習，我需要證明看漲期權的價格 $ C(t,K)=E((S_t-K)^+),t \in [0,T] $ 罷工 $ K $ 對於固定 $ t $ :
$$ \frac{\partial ^+C(t,K)}{\partial K}=-P(S_t>K). $$ 我們還沒有討論過 Black Scholes 模型。我想這將是 BS 公式的介紹練習。和： $$ \frac{\partial ^+}{\partial K}=\lim_{h↓0}\frac{C(t,K+h)-C(t,K)}{h} $$ 我得到： $ \frac{\partial ^+C(t,K)}{\partial K}=\lim_{h↓0}\frac{C(t,K+h)-C(t,K)}{h}=\lim_{h↓0}\frac{E((S_t-(K+h))^+)-E((S_t-K)^+)}{h}=\lim_{h↓0}\frac{P(S_t>K+h)(E(S_t|S_t>K+h)-(K+h))-P(S_t>K)(E(S_t|S_t>K)-K)}{h}… $ 從那裡我不知道如何進一步進行。使用 L’Hospital b/c 我們有 $ “\frac{0}{0}” $ 或左項可能為 0。請幫助。
首先請注意，delta 是現貨的衍生品，而不是罷工。後者通常被稱為“雙三角洲”。此外，您不需要任何有關 Black-Scholes 的知識，因為這是與模型無關的結果。
結果來自贖回價格的一般表達式
$$ \begin{equation} C_0 = e^{-r T} \mathbb{E}_\mathbb{Q} \left[ \left( S_T - K \right)^+ \right] = e^{-r T} \int_K^\infty (x - K) \mathrm{d}F(x), \end{equation} $$ 在哪裡 $ F $ 是風險中性分佈函式 $ S_T $ . 區分wrt $ K $ 產量
$$ \begin{equation} \frac{\partial C_0}{\partial K} = -e^{-r T} \int_K^\infty \mathrm{d}F(x) = -e^{-r T} \mathbb{Q} \left{ S_T > K \right}. \end{equation} $$ 這可能是這裡最常見的問題之一；搜尋“Breeden-Litzenberger”以獲得相關答案。