遵循 Bachelier 流程 的底層證券看漲期權
當標的資產遵循具有未知漂移項的 Bachelier 過程時，我試圖就如何為看漲期權定價的推導/證明：
$$ dS_t=…dt+\sigma dW_t $$ 但零利率： $ r = 0 $ .
我嘗試應用此處描述的方法： Bachelier 模型看漲期權定價公式，但我需要 $ r=0 $
所以我想知道：在找到看漲期權的無套利價格時，我的流程會是什麼樣子？是否一定會 $ dS_t=r S_tdt+\sigma dW_t $ （在這種情況下根本沒有漂移）？
換句話說：如何找到正確的風險中性度量並使用它來及時推導出看漲期權價格 $ t<T $ 為了 $ T $ 是通話的到期日？
“如何找到正確的風險中性度量
$$ … $$? "
具體解決這個問題，讓我們研究一個機率空間 $ (\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P}) $ 過濾 $ (\mathcal{F}t){t \geq 0} $ . 我們假設實物量度下的資產過程 $ \mathbb{P} $ 是：
$$ \text{d}S_t=\alpha(t,S_t)\text{d}t+\sigma\text{d}W_t $$ 在哪裡 $ \alpha(t,S_t) $ 是適當的 $ ^{*} $ 適合過濾的工藝 $ (\mathcal{F}t){t \geq 0} $ .
我們知道在風險中性測度下 $ \mathbb{Q} $ 折現資產價格 $ X_t $ 是鞅。將伊藤引理應用於 $ X_t=D_tS_t $ ， 在哪裡 $ D_t =D(0,t) $ 是來自的折扣因子 $ t $ 至 $ 0 $ :
$$ \begin{align} \text{d}X_t &= -rD_tS_t\text{d}t+D_t\text{d}S_t \[3pt] & = -rD_tS_t\text{d}t+D_t\alpha(t,S_t)\text{d}t+\sigma D_t\text{d}W_t \[3pt] & = (\alpha(t,S_t)-rS_t)D_t\text{d}t+\sigma D_t\text{d}W_t \quad\quad\quad \text{Eq. 1} \end{align} $$ 因此我們需要改變 $ S_t $ 從 $ \alpha(t,S_t) $ 至 $ rS_t $ . 現在讓我們定義以下過程：
$$ \tilde{W}_t=W_t+\int_0^t\frac{\alpha(t,S_t)-rS_t}{\sigma}\text{d}t $$ 過程 $ \tilde{W}_t $ 是風險中性測度下的布朗運動 $ \mathbb{Q} $ 由適應過程的Doléans-Dade 指數定義 $ f(t)=(\alpha(t,S_t)-rS_t)/\sigma $ . 然後我們可以改變度量 $ ^{\text{*}} $ :
$$ \begin{align} \text{d}S_t & = \alpha(t,S_t)\text{d}t+\sigma\text{d}W_t \[3pt] & = \alpha(t,S_t)\text{d}t+\sigma\left(\text{d}\tilde{W}_t-\frac{\alpha(t,S_t)-rS_t}{\sigma}\text{d}t\right) \[3pt] & = rS_t\text{d}t+\sigma\text{d}\tilde{W}_t \end{align} $$ 然後，您可以按照與Bachelier 模型看漲期權定價公式類似的方式從最後一個等式中進行求解，但替換為 $ r $ 經過 $ 0 $ 這應該簡化事情：
$$ S_t=S_0+\sigma\tilde{W}_t \ \sim \ \mathcal{N}(S_0,\sigma^2t) $$ **[編輯：**為什麼 $ \text{Eq. 1} $ 暗示資產的漂移需要 $ rS_t\text{d}t $ 測量中 $ \mathbb{Q} $ ? 我們從風險中性理論中知道，衍生品的價格是對其收益的預期 $ \mathbb{Q} $ （參見例如提案 2.9 從 $ [1] $ ); 因此，我們需要在風險中性度量下的資產分佈；我們也知道資產的折扣價， $ X_t=D_tS_t $ , 是下鞅 $ \mathbb{Q} $ （參見例如提案 2.8 從 $ [1] $ ）。另一方面，（局部）鞅可以被描述為一個沒有漂移的過程，即對於一個鞅 $ M_t $ :
$$ M_t=\sigma(t,M_t)\text{d}W_t $$ 對於一些適應的過程 $ \sigma(t,M_t) $ ，它可以是一個常數 $ \sigma $ . 因此給出 $ \text{Eq. 1} $ ，這給出了 SDE $ X_t $ ，為了使貼現資產成為（本地）鞅，我們需要取消它的漂移 $ \mathbb{Q} $ 通過使資產漂移 $ S_t $ 等於 $ rS_t\text{d}t $ 在同樣的措施下。在實踐中，我們總是使用本地鞅，它們也是鞅，因此我們不會費心進行所有的技術檢查。有關更多詳細資訊，請參閱我對“為什麼貼現的衍生品價格是鞅？ ”的回答中的技術說明。] $ \text{*:} $ 我們需要檢查Novikov 的條件以確保措施的改變是合法的，我們假設過程 $ \alpha(t,S_t) $ 是這樣的，條件得到滿足。
參考
$ [1] $ Harrison, M. 和 Pliska, S. (1980)。“連續交易理論中的鞅和隨機積分”，隨機過程及其應用 11, 215-260，北荷蘭出版公司。