看漲期權與看跌期權
我有兩個相互關聯的問題一直困擾著我一段時間。我已經線上閱讀了所有內容，但對我來說仍然沒有意義：
讓我們假設：
- 0% 利率（對沖資金和貼現率）
- 0% 股息
因此，Forward=Spot。
- 為什麼ATM 看跌期權的價格等於ATM 看漲期權的價格？這裡的對數正態分佈發生了什麼，呼叫不應該更昂貴嗎？（兩次 50% 的增加（225% 現貨）比 2 個 50% 的減少（25% 現貨）帶來更大的回報。
- 非常相關.. 為什麼 110% 看漲期權的價值超過 90% 看跌期權（在與上述相同的條件下）？
看跌期權平價如下：
$$ c_t-p_t = S_t - \frac{X}{e^{r(T-t)}} $$ 如果你假設 $ r=0 $ ， 你得到
$$ c_t-p_t = S_t - X $$ 所以， $ c_t \neq p_t $ .
其背後的基本原理是財務上的，而不是數學上的。您必須查看等式兩邊的收益，並且您會看到兩個投資組合在時間上會給出相同的收益 $ T $ （期權到期）。所以他們**今天必須有相同的價格，**否則會有明顯的套利機會。它適用於您為流程假設的任何模型 $ S $ .
請注意，因為它獨立於模型，事實上對於 ATM 選項 $ c_t = p_t $ 如果 $ r=0 $ 沒有告訴您有關期權價格的任何資訊。它們可能值數千或 0，但它們必須相等。
假設它們不相等： $ c_t=2 $ 和 $ p_t=1 $ 和 $ S_t=100 $ . 然後我可以賣出看漲期權，買入看跌期權，借入 100 美元（免費）買入股票。所以我知道我從看漲期權中得到了 2，支付了看跌期權，所以我有股票加 1。
到期時，如果股票上漲，我持有的看跌期權價值為 0，我賣出的看漲期權將迫使我以 100 的價格放棄股票，我將在藉入時歸還……但我賺了 1在操作。如果股票不動，兩個期權的價值都為 0 $ T $ ，所以我可以以 100 的價格出售我的股票並償還貸款，並獲得 1 的利潤。如果股票下跌，看漲期權的收益為 0，我可以以 100 的價格賣出股票，因為我擁有看跌期權，並使用100償還貸款，獲利1。所以無論如何，我獲利1，這是一個套利機會。
為什麼 OTM 看漲期權比 OTM 看跌期權更昂貴的一個簡單直覺的答案是因為對數正態分佈的偏度。想一想，到期時股價高於 110 的機率有多大，低於 90 的機率有多大？這應該回答你的問題。
用機率術語寫成：
- 未來股票價格分佈的中位數是 $ S(t) e^{r-\frac{1}{2}\sigma^2} \sim S(t) $ （為了合理和現實 $ \sigma^2 $ )
- $ P(S(T)> 110) \sim 1/2 - P(100<S(T)<110) $ 這是電話在金錢中結束的機率。
- $ P(S(T)<90) \sim 1/2-P(90<S(T)<100) $ 這是看跌期權在貨幣中完成的機率
- 分佈是傾斜的，因此 $ P(90<S(T)<100) > P(100<S(T)<110) $ 這是因為中位數的機率密度函式向下傾斜。
- 因此， $ P(S(T)>110) >> P(S(T)<90) $ -> 看漲價格 > 看跌價格
這不是一個嚴格的證明，但你要求一個定性的答案。