Libor 上限期權
我們表示
discount factor$ D(t), $zero coupon bond$ B(t,T), $ $ E_t[X] = E[X|\mathcal{F}(t)] $ 和 $ T $ - 前向測量 $ E_t^{T}[\ ]. $首先，讓我修復
LiborandForward Libor以避免歧義
Libor$ L(t,T): $$$ B(t, T)\cdot \Big(1 + (T-t) L(t, T)\Big) = 1. $$
Forward Libor$ F(t,T-\delta,T): $ $$ \Big(1 + (T-t)F(t,T-\delta,T)\Big)B(t,T) = B(t,T-\delta) $$ 現在我們看到cap$$ C(t;T,L^) = \dfrac{1}{D(t)}E_t\left[D(T)\delta\Big(F(t,T-\delta,T) - L^\Big)^+\right] $$ 我們可以改成前向測量 $$ C(t;T,L^) = \delta B(t,T)E^T_t\left[\Big(F(t,T-\delta,T) - L^\Big)^+\right] $$ 和 $ F(t,T-\delta,T) $ 是 $ T $ -正向鞅，上式成為標準
Black-Scholes.但如果我們選擇$$ C(t;T,L^) = \dfrac{1}{D(t)}E_t\left[D(T)\delta\Big(L(T-\delta,T) - L^\Big)^+\right] $$ 那麼我們可以轉化為 $$ C(t;T,L^) = (1+\delta L^)\cdot E^{T}_{t}\left[\left(\dfrac{1}{1+\delta L^*} - B(T-\delta,T)\right)^+\right] $$ 它變成了到期的債券看跌期權 $ T - \delta $ 適時成熟 $ T. $ 但 $ B(t,T) $ 下是不可能
log-normal的 $ T $ -forward 措施，那麼我們不能使用Black-Scholes.那麼對於這種情況如何處理呢？
注意
$$ \begin{align*} &\ \dfrac{1}{D(t)}E_t\left(D(T)\delta\Big(L(T-\delta,T) - L^\Big)^+\right)\ =&\ \dfrac{1}{D(t)}E\left(D(T-\delta) E\left(\frac{D(T)}{D(T-\delta)}\delta\Big(L(T-\delta,T) - L^\Big)^+\mid\mathcal{F}_{T-\delta}\right) \mid \mathcal{F}t\right)\ =&\ \dfrac{1}{D(t)}E\left(D(T-\delta) B(T-\delta, T)\delta\Big(L(T-\delta,T) - L^\Big)^+\mid\mathcal{F}_t\right)\ =&\ (1+\delta L^)\dfrac{1}{D(t)}E\left(D(T-\delta)\left(\dfrac{1}{1+\delta L^} - B(T-\delta,T) \right)^+\mid\mathcal{F}_t\right)\tag{1}\ =&\ (1+\delta L^)B(t, T)E^T_t\left(\frac{D(T-\delta)}{D(T)}\left(\dfrac{1}{1+\delta L^} - B(T-\delta,T) \right)^+\right). \end{align} $$ 你的轉變從 $$ C(t;T,L^) = \dfrac{1}{D(t)}E_t\left(D(T)\delta\Big(L(T-\delta,T) - L^\Big)^+\right) $$ 到 $$ C(t;T,L^) = (1+\delta L^)\cdot E^{T}{t}\left(\left(\dfrac{1}{1+\delta L^*} - B(T-\delta,T)\right)^+\right) $$ 似乎不正確。 我們還注意到 $ (1) $ 確實是到期的看跌債券期權的價值 $ T-\delta $ . 基於某個短速率模型，例如 Hull-White 模型，該值可以解析計算。