Caplet“拖欠”定價公式
遠期 Libor 利率 $ L(t,t_1,t_2) $ ， 和 $ 0 \leq t \leq t_1 $ , 必須是與零息債券相關的 T-forward 度量下的鞅 $ P(t,t_2) $ 成熟的時間 $ t_2 $ .
定價“成熟”的 caplet $ t_2 $ 然後變得微不足道（即Libor設置為的caplet $ t_1 $ 但付款發生在 $ t_2 $ ):
$$ C(t_0, T=t_2)=P(t_0,t_2)\mathbb{E}^{P_{t_2}}\left[\frac{(L(t_1,t_1,t_2)-K)^{+}}{P(t_2,t_2)}\right]=P(t_0,t_2)\mathbb{E}^{P_{t_2}}\left[(L(t_1,t_1,t_2)-K)^{+}\right]=P(t_0,t_2)Black76(K,L(t_0,t_1,t_2)) $$
然而，假設囊片成熟於 $ t_1 $ （這實際上看起來更自然，因為那是當倫敦銀行同業拆借利率 $ L(t,t_1,t_2) $ 集），那麼我們有：
$$ C(t_0, T=t_1)=P(t_0,t_2)\mathbb{E}^{P_{t_2}}\left[\frac{(L(t_1,t_1,t_2)-K)^{+}}{P(t_1,t_2)}\right] $$
如何評估這種期望並不是很明顯（我們可能會選擇 $ P(t,t_1) $ 代替 Numeraire，但是我們需要為 Libor 想出一個更複雜的過程 $ L(t,t_1, t_2) $ 在這個 Numeraire 下，不僅僅是我們在 $ P(t,t_2) $ 作為numeraire，所以這並不能真正解決問題）。
我們如何定價這種caplet？Libor市場模式？
讓 $ P(t, T) $ 成為當時的價格 $ t $ 到期的零息債券 $ T $ 和單位面值。考慮有回報的囊片定價 $ (L(t_1; t_1, t_2)-K)^+ $ 有時 $ t_1 $ ， 在哪裡 $ 0<t_1 < t_2 $ 並且，對於 $ 0\le s \le t_1 $ , $$ \begin{align*} L(s; t_1, t_2) = \frac{1}{t_2-t_1}\left(\frac{P(s, t_1)}{P(s, t_2)}-1\right) \end{align*} $$ 是在時間設定的遠期利率 $ s $ 計算期間 $ (t_1, t_2] $ . 讓 $ Q_{t_1} $ 和 $ Q_{t_2} $ 成為各自的 $ t_1 $ - 和 $ t_2 $ - 前向機率測度，以及 $ E_{t_1} $ 和 $ E_{t_2} $ 是對應的期望運算元。
請注意，對於 $ 0\le s \le t_1 $ , $$ \begin{align*} \frac{dQ_{t_1}}{dQ_{t_2}}\big|{s} &= \frac{P(0, t_2)}{P(0, t_1)}\frac{P(s, t_1)}{P(s, t_2)}\ &=\frac{P(0, t_2)}{P(0, t_1)}\Big(1+ (t_2-t_1)L(s; t_1, t_2) \Big). \end{align*} $$ 我們假設，在 $ t_2 $ - 前向機率測度 $ Q{t_2} $ , $$ \begin{align*} dL(t; t_1, t_2) = \sigma L(t; t_1, t_2) dW_t, \end{align*} $$ 為了 $ 0\le t \le t_1 $ ， 在哪裡 $ \sigma $ 是波動率和 $ {W_t,, t \ge 0} $ 是標準布朗運動。然後，caplet 的值由下式給出 $$ \begin{align*} &\ P(0, t_1) E_{t_1}\big((L(t_1; t_1, t_2)-K)^+\big) \ =&\ P(0, t_1) E_{t_2}\left(\frac{dQ_{t_1}}{dQ_{t_2}}\big|{t_1}(L(t_1; t_1, t_2)-K)^+\right)\ =&\ P(0, t_2) E{t_2}\left(\Big(1+ (t_2-t_1)L(t_1; t_1, t_2) \Big)(L(t_1; t_1, t_2)-K)^+ \right)\ =&\ P(0, t_2) E_{t_2}\big((L(t_1; t_1, t_2)-K)^+\big) + P(0, t_2)(t_2-t_1) E_{t_2}\big(L(t_1; t_1, t_2)(L(t_1; t_1, t_2)-K)^+\big). \end{align*} $$ 剩下的計算很簡單，考慮到動態 $ L(t_1; t_1, t_2) $ 在下面 $ Q_{t_2} $ .