計算支付的衍生品的價格日誌(小號噸)小號噸log(ST)STlog(S_T)S_T在布萊克斯科爾斯的世界裡
計算已支付的衍生品的價格 $ \log(S_T)S_T $ ，您可以假設 Black Scholes 模型是有效的。
使用庫存度量，我們可以將期望寫為
$$ D(0) = S_0 \mathbb{E}_S(\log S_T) $$
與股票度量中的期望。在這項措施中，
$$ dS_t = (r + \sigma^2)S_t dt + \sigma S_t dW_t $$
這是如何得出的？
從伊藤引理可以得出
$$ d \log S_t = (r+0.5\sigma^2)dt + \sigma dW_t $$
為什麼我們在這裡使用伊藤引理？
按照這個答案，讓 $ \mathbb Q $ 是與作為計價的無風險銀行賬戶相關的機率測度，並且 $ \mathbb Q^1 $ 與股票相關的機率度量為計價。
你知道標準方程 $ \mathrm{d}S_t=rS_t\mathrm{d}t+\sigma S_t\mathrm{d}W_t^\mathbb{Q} $ 可以寫成 $ \mathrm{d}S_t=(r+\sigma^2)S_t\mathrm{d}t+\sigma S_t\mathrm{d}W_t^{\mathbb{Q}^1} $ 通過應用 Girsanov 定理（這是本答案第 3 節的範例 1 ）在庫存量度下。我們簡單地使用 $ \mathrm{d}W_t^\mathbb{Q}=(\sigma\mathrm{d}t+\mathrm{d}W_t^{\mathbb{Q}^1}) $ .
同樣，將 Ito 引理應用於 $ f(t,x)=\ln(x) $ ， 我們有 $ \mathrm{d}\ln(S_t)=\left(r-\frac{1}{2}\sigma^2\right)\mathrm{d}t+\sigma \mathrm{d}W_t^{\mathbb{Q}} $ 這轉化為 $ \mathrm{d}\ln(S_t)=\left(r+\frac{1}{2}\sigma^2\right)\mathrm{d}t+\sigma \mathrm{d}W_t^{\mathbb{Q}^1} $ 在新措施下。後一個方程等價於 $$ \ln(S_t)= \ln(S_0)+\left(r+\frac{1}{2}\sigma^2\right)t+\sigma W_t^{\mathbb{Q}^1}. $$ 因為 $ W_t^{\mathbb{Q}^1} $ 是股票測度下的標準布朗運動 $ \mathbb{Q}^1 $ （通過構造），因此期望為零，我們有$$ \mathbb{E}^{\mathbb{Q}^1}[\ln(S_t)]=\ln(S_0)+\left(r+\frac{1}{2}\sigma^2\right)t. $$
現在轉向索賠支付 $ S_T\ln(S_T) $ ，我們可以得出它的價格如下 $$ \begin{align*} e^{-rT}\mathbb{E}^\mathbb{Q}[S_T\ln(S_T)] &= e^{-rT}\mathbb{E}^{\mathbb{Q}^1}\left[S_T\ln(S_T)\frac{\mathrm{d}\mathbb{Q}}{\mathrm{d}\mathbb{Q}^1}\right] \ &= S_0 \mathbb{E}^{\mathbb{Q}^1}\left[\ln(S_T)\right] \ &= S_0 \left(\ln(S_0)+\left(r+\frac{1}{2}\sigma^2\right)T\right). \end{align*} $$ 在這裡，我用 $ \frac{\mathrm{d}\mathbb{Q}}{\mathrm{d}\mathbb{Q}^1}=\frac{S_0e^{rT}}{S_T} $ .
當然，這個值可以是負數（就像這個索賠的回報可以是負數一樣）。