對最優選擇與奇異選擇的混淆
對於奇異期權，持有人通常在某些時候面臨選擇。在我的理解中，期權的價格是通過假設採取了最優選擇並在反向歸納的風險中性度量下計算收益的貼現期望來確定的。我的問題是，如果我持有這樣的選擇，那麼做出最優選擇對我有什麼好處？這樣的最優選擇在風險中性測量下是最優的，那麼在實際測量下採取這樣的選擇如何暗示/保證（甚至是機率地）任何事情？如果我採用定價模型確定的最優選擇，那將使我持有的期權的無套利價格最大化，但這在現實世界中是否具有任何最優性？這會導致更高的盈虧嗎？假設期權具有內在價值 $ x $ , 外在價值 $ y $ ，我只是碰巧持有這個期權，不是為了對沖目的，也沒有對底層證券有任何特別的看法。我如何從可選性/外在價值中受益？我知道如果我不遵循最佳選擇，我會失去一些外在價值，但這只是一個理論構想，我會在哪裡看到這種“價值損失”的表現？
考慮一個香草歐洲選項。風險中性措施的最佳策略是行使如果 $ S(T)>K $ . （因為在風險中性的世界中，我按照預期來評估我的收益，這就是收益本身。在時間 T，如果 $ S(T)-K $ 是積極的，我會接管它而不鍛煉，這是0的回報。
這當然在現實世界中也是最優的——更多的錢總比更少的錢好。所以我的“最佳鍛煉策略”匹配。
價值損失的表現是 PnL 洩漏。考慮與上面相同的範例。說 $ S(T)>K $ 但你根本沒有行使你的期權：所以你只是為期權付出了一些代價，但次優的行使策略意味著你一無所有。這當然是一個極端的例子，但你看到了這個想法。
同樣的想法延伸到異國情調。考慮一個有 2 個鍛煉日期的百慕大人。用 E 表示第一個日期的立即行使價值，用 C 表示持續價值。表示為 $ w $ 世界的狀態，和 $ T $ 表示第一個行使日期，並且 $ T_ex $ 表示我行使選擇權的日期（隨機）。
讓 $ A={w:E(w)>C(w)} $ . 然後 $ Pr[(T_ex=T)|A]=1 $ 在風險中性度量中。由於現實世界和風險中性度量是等價的（他們同意什麼是可能的，什麼是不可能的），我們得到 $ Pr[(T_ex=T)|A]=1 $ 在現實世界。這告訴您，當您在“風險中性措施”中鍛煉時，您將在現實世界中鍛煉。這告訴您“最佳策略”是完全相同的。
附錄：
通過考慮（假設 $ Pr(A)>0 $ 和 $ Pr(B)>0 $ ） 說 $ Pr(B|A)=0 $ 在 RN 測量中。然後 $ Pr(B,A)=0 => Pr(B,A)=0 $ 在現實世界的測量中。作為 $ Pr(A)>0 $ , 我們必須有 $ Pr(B|A)=0 $ 在現實世界中也是如此。