建構期權和股票投資組合
如果無風險證券今天的價格為 100，在時間 T 的價格為 120，一隻股票今天的價格為 50，在時間 T 的價格為 70 或 30，股票的看漲期權的執行價格為 50，在時間 T 到期，你將如何建構一個股票和看漲期權的投資組合，無論最終股價如何，投資組合的最終價值都是 120？另外，您如何找到看漲期權的價格？
請解釋一下，謝謝。
如果無風險的安全成本[Math Processing Error] $ 100 $ 有時 $ t=0 $ 和 $ 120 $ 有時 $ T $ 然後是無風險利率，[Math Processing Error] $ r $ ， 是 $ 20% $ .以便， $ r=0.2 $ . 將初始股票價格表示為[Math Processing Error] $ S_0 $ 和看漲期權的價格為 $ c $ .
假設當時 $ t=0 $ 你買一隻股票然後賣 $ \Delta $ 選項。您當時的投資組合價值 $ t=0 $ 是
$$ P_0 = -\Delta\times c + S_0 $$.
當時 $ t = T $ 庫存可能會花費 $ S_u = 70 $ 或者 $ S_d = 30 $ . 到期時，看漲期權的價格， $ c $ , 可以計算為 $ \max (S_T - K, 0) $ . 因此有時 $ t = T $
- 當股價上漲時，您的投資組合成本 $ P_u = S_u - \Delta\times c = 70 - \Delta \times (70-50) = 70- \Delta \times20 $ ;
- 當股價下跌時，您的投資組合成本 $ P_d = S_d - \Delta\times c = 30 - \Delta\times 0 = 30 $ .
因此，如果您想建構無風險投資組合（不依賴於股票價格的投資組合），您需要解決 $ \Delta $ :
$$ 70 - 20\Delta = 30 $$ $$ \Delta = 2 $$. 這意味著，如果您及時購買 $ t=0 $ 一份為 $ 50 $ 美元並賣出兩個期權，然後在時間 $ t=T $ 你的投資組合價值是 $ 30 $ 不管股價是漲是跌。
如果你想讓你的投資組合成本[Math Processing Error] $ 120 $ 有時[Math Processing Error] $ T $ 你只需要將你的證券乘以 $ 4 $ （買[Math Processing Error] $ 4 $ 股票和出售[Math Processing Error] $ 8 $ 時間選項 $ t=0 $ ).
要在您的投資組合中找到期權價格，請記住它是無風險的投資組合。因此它產生無風險利率 $ r=0.2 $ .因此，
$$ P_0\times (1+r) = P_u = P_d $$ $$ (50-2\times c)(1+0.2) = 30 $$ $$ c = 12.5 $$