每日回歸到大約年化已實現波動率 16 或 20？
有時交易者通過將 1 天的每日收益（作為每日波動率的替代，因為假設平均收益為零）乘以 16 來近似實際波動率，以將其與期權的年化隱含波動率進行比較，因為波動率與平方成正比時間根，如果一年有 252 個交易日：
$ \sqrt{252}*\sigma_{daily}=\sigma_{annualized} $
$ \sqrt{252}=15.8745 \approx 16 $
所以， $ 16*\sigma_{daily}\approx\sigma_{annualized} $
使用特定日期的百分比回報率的絕對值代替每日波動率，以獲得當天實際波動率的粗略近似值。然而，在 Euan Sinclair 的“波動率交易”中，他聲稱我們應該使用 20 而不是 16 作為乘數。他寫道，差異“是由於將平均平方收益的平方根與每日收益混淆”。他通過以下等式得出這個乘數：
$ E[| R_{t} |]=\sqrt{2/\pi}\sigma $ （等式1）
$ \sigma=19.896(\frac{1}{N}\sum_{t=1}^{N}| R_t |) $ （等式2）
所以， $ average move = 0.04986\sigma S \approx \frac{\sigma S}{20} $ （等式3）
他是如何得出等式 1 和 2 的？為什麼第一種方法不正確？請更詳細地解釋。
讓我們首先討論一下作者是如何得出等式 1 和 2 的。它基於這樣一個事實：如果 $ X \sim N(0, \sigma^2) $ ， 然後 $ Y = |X| $ 服從半正態分佈。在你的問題中， $ X $ 是每日回報（即 $ R_t $ ）。可以證明 $$ E(|X|) = \sqrt{\frac{2}{\pi}} \sigma \tag{equation 1} $$ 這提供了 $$ \sigma = E(|X|) \cdot\sqrt{\frac{\pi}{2}} $$ 對於樣本數據 $$ \hat{\sigma} = 1/N\sum_{I =1}^{N} |X_i| \cdot \sqrt{\frac{\pi}{2}} $$ 在哪裡 $ \hat{\sigma} $ 是每日波動率的估計。假設一年有 252 天，這提供（假設 $ X_i’s $ 是獨立同分佈） $$ \sigma_{annual} = \sqrt{252} \hat{\sigma} = 19.896 \cdot 1/N\sum_{I =1}^{N} |X_i| \tag{equation 2} $$
您還問，哪種方法更正確。對於漸近大 $ N $ 這兩種方法是等效的，並且將提供相同的估計量。在第一種方法下，波動率被定義為收益平方根的平均值，而在第二種方法下，波動率只是絕對收益的平均值。注意，$$ 1/N \sum_{I=1}^{N} |X_i| \leq \sqrt{1/N \sum_{I=1}^{N} X_i^2} $$ 我認為這提供了標準偏差和絕對標準偏差之間的良好關係。