障礙/數字期權的 Delta 對沖
我想解決一個我想到的問題，但我沒有在網上找到明確的答案。
當我們處理障礙或數字期權時，我們的收益是不連續的，因此衍生品（希臘人）非常尖銳，並且在障礙/罷工附近取值很大。因此，對沖此類期權將是一項非常複雜的任務，因為交易者將不得不買賣大量標的資產，從而面臨流動性問題並蒙受一些損失的風險。
在實踐中，我知道我們必須應用障礙轉移 來輕微改變收益結構，並在障礙/罷工周圍有更易於管理的增量。
它是如何工作的？我們如何選擇這種轉變？會不會錯誤地定價不同的選項（不同的價格）？
最重要的是，如果基礎價格繞過轉移的障礙怎麼辦？在這裡，無論如何，我們都必須大量買入/賣出才能進行 delta 對沖。
你是對的，數字期權的“真正的”希臘人是笨拙的，例如，delta 在任何地方都為零，除了在它是衝動的障礙處。因此，賣方交易台將數字期權建模/定價為緊密結合的看漲/看跌價差，可以與本書的其餘部分很好地配合。
這是一個簡單的例子：假設一家銀行在 AAPL 上出售一個數字看漲期權，如果股票在到期時超過 150美元，則支付1000美元。這可以建模為做空 100美元140美元/ 150 美元的看漲期權價差。因此，如果股票最終以155美元收盤，交易者就會對沖與數字匹配的支出（ 1000美元= 100 看漲期權價差 * 10美元行使價差）。在這種情況下，到期時不存在缺口/固定風險。
那麼，這有什麼問題呢？簡而言之，交易者為數字報價的價格將非常沒有競爭力，因為要求數字的人可以自己購買看漲期權價差（儘管這並非對所有標的資產都可行），因此交易者很快就會失業。
他/她怎樣才能顯示出更好的價格？基本上採用以下兩種方式之一：
- 使用更多的槓桿，這意味著他們會將 digi 呼叫建模為更緊密的呼叫傳播。用於建模的罷工越緊，它需要的看漲價差就越大，希臘人在書中的規模就越大/越不連續。例如，如果建模為 145/150，則需要 200 個點差，149/150 需要 1000 個點差，依此類推。仍然沒有缺口風險。
- 使用你所謂的障礙轉移。這就是事情可能變得辛辣的地方。簡而言之，這正在改變用於模擬數字的呼叫傳播的中心位置。假設交易者將150美元的數字看漲期權建模為 500美元149美元/ 151 美元的看漲期權價差（因此在我們的第一個範例中，數字罷工的兩側都有一個，而不是兩者都在/下方）。那麼他/她在 digi 上的價格對於客戶來說肯定會更好一些。但是，如果股票在digi 到期時為 150.50美元會怎樣？那麼交易者實際上應該支付1000美元，但只有750 從他們的對沖中（因為他們對沖看漲價差，支付 500 * (150.50-149) = 750），因此將在250美元到期時實現固定損失。
交易者必須評估多少槓桿是現實或實用的（a）在他們的交易賬戶和希臘管理的其餘部分的背景下，以及（b）考慮到您的觀點，考慮到delta/vega 對沖的基礎市場的**流動性。**在這一點上，如果不通過障礙轉移承擔一些（無法對沖的）缺口風險，他們可能仍然沒有競爭力，但他們會尋求在任何給定時間將其總數字風險保持在適度的水平。
我幾乎同意@phlsmk 的回答，但有一些小的差異。
首先，數字的 delta並非“所有地方都為零，除了在它是衝動的障礙處”。這就是它的所在 $ t=T $ . 在此之前，它會被平滑，就像正常選項一樣。
問題在於增量可能會變成什麼。這不是它發生的唯一地方。
讓我們看一個例子，只是一個普通的呼叫。K=100, r=q=0（即沒有漂移，fwd 是任何點）， $ \sigma $ =20%（在所有這些例子中改變音量就像改變時間一樣，所以它對答案並沒有真正的影響）。下面，
adu是絕對增量/單位，aguu是絕對伽馬/單位/單位。
請注意，隨著時間變為零，收益如何接近風口浪尖。這是delta和gamma：
現在，我認為很容易將其視為 $ t \to T $ 這變得難以對沖。
解決這個問題的一種方法是將期權分成幾個，在原始期權周圍分佈不同的罷工。這就是它的樣子（與 $ t=1.0 $ pv 以橙色覆蓋以進行比較）：
隨著時間的推移，這是價格的差異：
好的，那麼 delta 和 gamma 呢？
所以 delta 在中間有一個額外的台階，伽馬仍然是尖峰，但現在每個尖峰的大小是以前的一半。顯然我們還可以做得更好。
讓我們做一條從 90 到 110 的期權。
這是我們的新收益，以及與原始收益的比較：
再次，delta 和 gamma：
因此，您可以看到，通過分攤我們的收益，我們可以降低我們未來可能面臨的潛在風險，而成本增加的幅度很小。
這僅適用於普通選項 - 但數字本質上是 call wrt 的一階導數。罷工，所以只需在上面的範例中將 gamma 替換為 delta。
顯然，你越抹掉障礙，成本就越高。這就是風險限制的用武之地。如果您想以小規模進行這些交易之一，則沒有必要這樣做，因為最大風險很小。如果你來找我並要求做一個 100 毫米的數字，那麼我手上可能有一個非常大的對沖，所以我會平滑支付以降低這種風險——這只是進行大筆交易的另一個成本。如果你能找到一個更願意接受巨大風險的人，那麼他們或許會給你一個更低的價格。
我不同意這樣做會使您的價格沒有競爭力，因為這是一件非常標準的事情->每個人都這樣做。多少可能不同，但正如我已經提到的，這也取決於大小。當你轉向更大的規模時，無論如何市場都會縮小，所以你會預期成本會增加。
對於障礙轉移——除了針對客戶之外，為什麼銀行會在任何方向上這樣做？當這樣完成時，到期時的盈虧總是 $ \geqslant0 $ .
eidt：所以，我花了一點時間來玩弄我的電子表格——你可以做得更好。為什麼要平均加權期權的概念？如果我們按照正常值對它們進行加權，我們可以一直得到表現良好的希臘人，即使在 $ t=T $ :
最後一個是數字的增量。請注意，這兩種方法是不同的——第一種方法對整個區域都有較低的級別，但它出現的很突然。第二個最大值較大，但接近緩慢。你決定選擇哪一個取決於你想如何管理事情。
