歐洲無資產和無現金期權價值公式的推導
無資產歐式期權在 t = T 時支付股票價值，當在時間 T 時股票價值超過或等於執行價格 E，如果股票價值低於 E，則不支付任何費用。所以，在數學上條款：
[數學處理錯誤]$$ V(S,T) = \left{ \begin{array}{lr} S & \text{if}\quad S \ge E,\ 0 & \text{if}\quad S < E. \end{array} \right. $$ 現金或無現金歐式期權在 t = T 時支付固定值 B，而在時間 T 時，該值超過或等於執行價格 E，如果股票價值低於 E，則不支付任何費用。所以，用數學術語來說：
[數學處理錯誤]$$ V(S,T) = \left{ \begin{array}{lr} B & \text{if}\quad S \ge E,\ 0 & \text{if}\quad S < E. \end{array} \right. $$ 我們知道這些選項的公式如下：
$$ \begin{align} &\text{Cash-or-nothing call:}\quad c_{cn}=Be^{-rT}N(d_2),\ &\text{Cash-or-nothing put:}\quad p_{cn}=Be^{-rT}N(-d_2),\ &\text{Asset-or-nothing call:}\quad c_{an}=Se^{-qT}N(d_1),\ &\text{Asset-or-nothing put:}\quad p_{an}=Se^{-qT}N(-d_1).\ \end{align} $$ 在哪裡
[ Math Processing Error ]$$ d_1=\dfrac{\ln(S/E)+(r-q+\sigma^2/2)(T-t)}{\sigma\sqrt{T-t}} $$ 和 $$ d_2=d_1-\sigma\sqrt{T-t}. $$ 我們也知道我們應該遵循 Black-Scholes 的推導來推導出這些公式，但我們很難理解它與 Black-Scholes 本身的推導有何不同。
您可以通過調整 black scholes 推導來推導這些公式。如果您使用 PDE 方法，您將使用不同的邊界條件。如果您在風險中性機率上使用積分，您將使用不同的收益函式但相同的風險中性密度。
或者，您可以觀察到這些收益是正常看跌期權和看漲期權的組合。例如，cash or nothing call是a的限制。
$$ E, E+dE $$看漲期權價差，因為 dE 趨於零，因此您可以通過將正常 Black Scholes 看漲期權價格除以 E 來獲得它。然後，資產或無看漲期權 = 正常看漲期權 + 現金或無看漲期權，因此您可以將其推導出為好。
現金或無現金期權的價值只是期權的貼現預期收益。所以這樣一個呼叫的價值應該是 $ e^{-r (T - t)} N \mathbb{P} \left{ S_T > K \right} $ ， 在哪裡[P{ST>K}=N(d2)Math Processing Error]， 和[NMath Processing Error]是同意支付的現金。 $ \mathbb{P} \left{ S_T > K \right} = \mathcal{N} \left( d_2 \right) $ $ N $
資產或無資產有點複雜，因為它是[e−r(T−t)E[ST|ST>K]Math Processing Error]. 最後一項是股票價格的期望值，因為 $ e^{-r (T - t)} \mathbb{E} \left[ \left. S_T \right| S_T > K \right] $ $ S_T > K $ . 因此，您需要使用對數正態股票價格並將其與標準正態的 pdf 集成並“完成平方”。你最終會得到 $ e^{(r - q) (T - t)} S_0 \mathcal{N} \left( d_1 \right) $ 為此，最終的公式是 $ e^{-q (T - t)} S_0 \mathcal{N} \left( d_1 \right) $ .