在赫斯頓模型中推導歐式看漲期權的解
我在赫斯頓模型中推導出歐式看漲期權的解決方案。我遵循 Heston 和 Fabrice Douglas Rouah 在他的書The Heston Model and Its Extensions in Matlab and C# 中的推導的原始論文。但是，我無法理解幾個步驟 - 我有 3 個問題。
赫斯頓模型中的對沖投資組合包括一個期權， $ V = V(S,v,t) $ , $ \Delta $ 股票和 $ \phi $ 對沖波動性的期權單位， $ U(S,v,t) $ , 並具有值： $$ \begin{align*} \Pi = V + \Delta S + \phi U, \end{align*} $$ 其中，時間間隔內投資組合價值的變化， $ dt $ 是（誰）給的： $$ \begin{align} \label{HestonPort} d\Pi = dV + d\Delta S + d\phi U. \end{align} $$
接下來，我想獲取後面的過程 $ dV $ . Rouah 寫道，必須將伊藤引理應用於 $ V $ ，並且必須區分 $ V $ 寫 $ t,S $ 和 $ v $ ，並創建二階泰勒展開。這導致： $$ \begin{align*} dV = \frac{\partial V}{\partial t}dt + \frac{\partial V}{\partial S}dS + \frac{\partial V}{\partial v}dv + \frac{1}{2}vS^2\frac{\partial^2V}{\partial S^2}dt + \frac{1}{2}v\sigma^2\frac{\partial^2V}{\partial v^2}dt + \sigma \rho v S \frac{\partial^2 V}{\partial S \partial v}dt. \end{align*} $$
- 我不明白這一步。為什麼我需要創建二階泰勒展開？我為什麼要區分 $ V $ 寫 $ t,S $ 和 $ v $ ? 我將伊藤引理理解為布萊克斯科爾斯模型的推導——這是伊藤引理的某種擴展嗎？或者我怎麼知道我需要二階泰勒展開？
在推導的後期，赫斯頓寫道，對於歐式看漲期權，他“猜測以下形式的解決方案”： $$ C(S,v,t) = SP_1 - Ke^{-rT}P_2. $$ （第 330 頁，等式 10）。這類似於布萊克-斯科爾斯公式。第一項是最優行權時現貨資產的現值，第二項是執行價格支付的現值。這兩個項都必須滿足由下式給出的 PDE：
$$ \begin{align} \label{HestonPDE} \begin{split} & \frac{\partial U}{\partial t} + \frac{1}{2}vS^2\frac{\partial^2U}{\partial S^2} + \sigma \rho v S \frac{\partial^2 U}{\partial S \partial v} + \frac{1}{2}v\sigma^2\frac{\partial^2U}{\partial v^2} \
- &rU + rS \frac{\partial U}{\partial S} + \left[ \kappa(\theta - v) - \lambda(S,v,t) \right] \frac{\partial U}{\partial v} = 0. \end{split} \end{align} $$
將建議的解決方案代入原始 PDE 表明 P1 和 P2 必須滿足：
$$ \begin{align} \label{PPDE} \frac{\partial P_j}{\partial t} + \rho \sigma v \frac{\partial^2 P_j}{\partial v \partial x} + \frac{1}{2} v \frac{\partial^2 P_j}{\partial x^2} + \frac{1}{2} \sigma^2 v \frac{\partial^2 P_j}{\partial v^2} + (r+u_j v) \frac{\partial P_j}{\partial x} + (a-b_j v) \frac{\partial P_j}{\partial v} = 0, \end{align} $$
- 我可以看到赫斯頓“猜測”類似於布萊克斯科爾斯方程 - 但他如何“猜測”這個解決方案？這個猜測可以從 PDE 推導出來嗎？
- 為什麼猜測解中的兩項也必須滿足 PDE？為什麼需要為 P1 和 P2 導出 PDE？
提前致謝！
伊藤引理
Itô 引理的標準版本適用於單個 Itô 流程 $ \text{d}X_t=\mu(t,X_t)\mathrm{d}t+\sigma(t,X_t)\mathrm dW_t $ . 然後， $$ \mathrm{d}f(t,X_t) = \left(f_t+\mu(t,X_t)f_x + \frac{1}{2}\sigma(t,X_t)^2f_{xx}\right)\mathrm{d}t+\sigma(t,X_t)f_x\mathrm dW_t. $$ 讓 $ \text{d}Y_t=m(t,Y_t)\mathrm{d}t+s(t,Y_t)\mathrm dW_t^{(2)} $ 成為第二個伊藤程序 $ \mathrm dW_t\mathrm dW_t^{(2)}=\rho\mathrm dt $ . 然後， $$ \begin{align*} \mathrm{d}f(t,X_t,Y_t) = \bigg(& f_t+\mu(t,X_t)f_x+m(t,Y_t)f_y + \frac{1}{2}\sigma(t,X_t)^2f_{xx}+\rho\sigma(t,X_t)s(t,Y_t)f_{xy} \ &+ \frac{1}{2}s(t,Y_t)^2f_{yy}\bigg)\mathrm{d}t+\sigma(t,X_t)f_x\mathrm dW_t+s(t,Y_t)f_y\mathrm dW_t^{(2)}. \end{align*} $$ 或者，我們可以寫 $$ \mathrm{d}f= \left(f_t+ \frac{1}{2}\sigma(t,X_t)^2f_{xx}+\rho\sigma(t,X_t)s(t,Y_t)f_{xy}+ \frac{1}{2}s(t,Y_t)^2f_{yy}\right)\mathrm{d}t+f_x\mathrm dX_t+f_y\mathrm dY_t. $$ 筆記：
- 這個版本的證明也是基於泰勒多項式，因此它類似於相應的二階二維展開。
- Itô 的引理可以進一步推廣到更多變數的函式， $ f(t,X^{(1)}_t,…,X^{(n)}_t) $ ，复值函式和不平滑的函式，請參閱此答案。它也可以推廣到跳躍過程和更通用的積分器。
範例：赫斯頓的隨機波動率模型。讓 $$ \begin{align*} \text{d}S_t&=\mu S_t\mathrm{d}t+\sqrt{v_t}S_t\mathrm dW_t \ \text{d}v_t&=\kappa(\bar{v}-v_t)\mathrm{d}t+\xi\sqrt{v_t}\mathrm dW_t^{(2)}, \end{align*} $$ 在哪裡 $ \mathrm dW_t\mathrm dW_t^{(2)}=\rho\mathrm dt $ . 然後， $$ \mathrm{d}f(t,S_t,v_t) = \left(f_t+\mu S_t f_S+\kappa (\bar{v}-v_t)f_v + \frac{1}{2}v_tS_t^2f_{SS}+\rho\xi v_t S_tf_{Sv} + \frac{1}{2}\xi^2v_tf_{vv}\right)\mathrm{d}t+\sqrt{v_t} S_t f_S\mathrm dW_t+\xi \sqrt{v_t}f_v\mathrm dW_t^{(2)}. $$
從這裡開始，我們可以像您的筆記中那樣繼續，類似於 Black-Scholes 推導。我們需要同時使用 delta 和 vega 對沖來消除股票風險和變異數風險，而不是簡單的 delta 對沖。
猜測解決方案
首先，你經常做出“好的猜測”來解決偏微分方程。經過一些（很多年？）年之後，人們獲得了 PDE 的經驗，並且有時確實可以猜出解決方案的功能形式。在赫斯頓模型的情況下：布萊克-斯科爾斯期權看漲公式帶有很多經濟直覺（資產或無資產看漲期權和現金或無現金看漲期權的價格），請參閱此答案。零息債券期權也有類似的功能形式。因此，假設 Black-Scholes 函式形式適用於隨機波動率模型是一個合理的猜測。
事實上，Geman等人的 numéraire change 技術。(1995)告訴我們，期權價格不僅可以寫成數字期權的總和，還可以寫成行使機率的總和， $$ \begin{align*} C(S;K,T) = Se^{-qT}\mathbb{S}[{S_T\geq K}] - Ke^{-rT}\mathbb{Q}[{S_T\geq K}], \end{align*} $$ 在哪裡 $ \mathbb{Q} $ 是標準的風險中性度量，並且 $ \mathbb{S} $ 是庫存量度。所以，赫斯頓的猜測是明智的。
赫斯頓的 PDE
我們猜測之後 $ C=SP_1-Ke^{-rT}P_2 $ ，我們有，例如，$$ \frac{\partial}{\partial S} C= P_1+S\frac{\partial}{\partial S}P_1 -Ke^{-rT}\frac{\partial}{\partial S}P_2 $$和$$ \frac{\partial}{\partial t} C= S\frac{\partial}{\partial t}P_1 -Ke^{-rT}\frac{\partial}{\partial t}P_2. $$如果將所有這些都插入到實際的 PDE 中 $ C $ （以及其他必要的偏導數），然後你得到兩個偏微分方程 $ P_1 $ 和 $ P_2 $ .
另類推導
我使用 numéraire 更改為 Heston 公式提供了一個快速的替代推導。記起 $$ \begin{align*} C(S;K,T) = Se^{-qT}\mathbb{S}[{S_T\geq K}] - Ke^{-rT}\mathbb{Q}[{S_T\geq K}]. \end{align*} $$
Gil-Pelaez (1951) 的反演公式表明，對於任何機率測度 $ \mathcal{P} $ , $$ \begin{align*} \int_0^\infty \Re\left(\frac{e^{-i\ln(K)u}\varphi_{\ln(S_T)}^\mathcal{P}(u)}{iu}\right)\mathrm{d}u = \pi\left(\mathcal{P}\big[{S_T\geq K}\big] - \frac{1}{2}\right), \end{align*} $$ 在哪裡 $ \varphi_{X}^\mathcal{P}(u)=\mathbb{E}^\mathcal{P}[e^{iu X}] $ 是可積隨機變數的特徵函式 $ X $ 在下面 $ \mathcal{P} $ . 如果 $ X $ 有一個機率密度函式，那麼 $ \varphi $ 是這個密度的傅里葉變換。
現金零錢給 $$ \varphi_{\ln(S_T)}^\mathbb{S}(u)=\mathbb{E}^\mathbb{S}[e^{iu \ln(S_T)}] = \mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[\frac{\text{d}\mathbb{S}}{\mathrm d\mathbb{Q}}e^{iu \ln(S_T)}\right]=\mathbb{E}^\mathbb{Q}\left[\frac{S_T}{\mathbb{E}^\mathbb{Q}[S_T]}e^{iu \ln(S_T)}\right]=\frac{\varphi_{\ln(S_T)}^\mathbb{Q}(u-i)}{\varphi_{\ln(S_T)}^\mathbb{Q}(-i)}. $$
您可以將所有這些結合起來，得出赫斯頓公式，所有這些都以單個特徵函式的形式表示， $ \varphi_{\ln(S_T)}^\mathbb{Q} $ , $$ \begin{align*} \mathbb{Q}\big[{S_T\geq K}\big] &= \frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\int_0^\infty \Re\left(\frac{e^{-i\ln(K)u}\varphi(u)}{iu}\right)\mathrm{d}u, \ \mathbb{S}\big[{S_T\geq K}\big] &= \frac{1}{2}+\frac{1}{\pi}\int_0^\infty \Re\left(\frac{e^{-i\ln(K)u}\varphi(u-i)}{iu\varphi(-i)}\right)\mathrm{d}u, \end{align*} $$ 在哪裡 $ \varphi $ 是標準赫斯頓特徵函式 $ \ln(S_T) $ 在下面 $ \mathbb{Q} $ ，你可以在許多教科書中找到。
筆記
- 這些公式實際上適用於所有具有已知特徵函式的模型（大多數隨機波動率模型和指數 Lévy 過程）。
- 如果您對傅立葉方法有更多了解，您會認為這些公式等同於Bakshi 和 Madan 的 (2000)公式和Bates 的 (2006)公式。它們也是Lewis (2001)公式的一個特例，該公式反過來嵌套了Carr 和 Madan (1999) 的方法。